Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases do espaço 2 -2 3 -2, chamadas e . O que a gente precisa encontrar é o vetor representado na base , sabendo que ele está representado na base por . Para isso, vamos usar conceitos de mudanças de base e coordenadas de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa 2 -2 3 -2. Isso quer dizer que o vetor w = 2 cdot v1 + (-2) cdot v2 + 3 cdot v3 + (-2) cdot v4 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base , com esses coeficientes. Ou seja:
onde são os vetores da base .
Passo 3
Vamos calcular o vetor v1 = (10,1,-1,3), v2 = (3,2,-1,-1), v3 = (1,4,8,1), v4 = (4,3,3,4) explicitamente. Substituindo os vetores da base w = 2(10,1,-1,3) + (-2)(3,2,-1,-1) + 3(1,4,8,1) + (-2)(4,3,3,4) :
Então:
Passo 4
Vamos fazer as multiplicações:
2(10,1,-1,3) = (20, 2, -2, 6)
-2(3,2,-1,-1) = (-6, -4, 2, 2)
3(1,4,8,1) = (3, 12, 24, 3)
-2(4,3,3,4) = (-8, -6, -6, -8)
Passo 5
Agora, somamos todos esses resultados para encontrar w = (20, 2, -2, 6) + (-6, -4, 2, 2) + (3, 12, 24, 3) + (-8, -6, -6, -8) :
Agora que temos o vetor a b c d, vamos encontrar suas coordenadas na base w = a cdot u1 + b cdot u2 + c cdot u3 + d cdot u4 . Isso significa encontrar um vetor tal que: