Considere as seguintes bases de R^4 :
alpha=(10,1,-1,3),(3,2,-1,-1),(1,4,8,1),(4,3,3,4)
e
beta=(3,1,1,0),(2,1,1,2),(-1,0,0,-1),(0,1,0,1)
Encontre [w]beta sabendo que [w]alpha=[r2 -2 3 -2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases do espaço 2 -2 3 -2, chamadas e . O que a gente precisa encontrar é o vetor representado na base , sabendo que ele está representado na base por . Para isso, vamos usar conceitos de mudanças de base e coordenadas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 2 -2 3 -2. Isso quer dizer que o vetor w = 2 cdot v1 + (-2) cdot v2 + 3 cdot v3 + (-2) cdot v4 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base , com esses coeficientes. Ou seja:
onde são os vetores da base .

Passo 3

Vamos calcular o vetor v1 = (10,1,-1,3), v2 = (3,2,-1,-1), v3 = (1,4,8,1), v4 = (4,3,3,4) explicitamente. Substituindo os vetores da base w = 2(10,1,-1,3) + (-2)(3,2,-1,-1) + 3(1,4,8,1) + (-2)(4,3,3,4) :
Então:

Passo 4

Vamos fazer as multiplicações:
2(10,1,-1,3) = (20, 2, -2, 6)
-2(3,2,-1,-1) = (-6, -4, 2, 2)
3(1,4,8,1) = (3, 12, 24, 3)
-2(4,3,3,4) = (-8, -6, -6, -8)

Passo 5

Agora, somamos todos esses resultados para encontrar w = (20, 2, -2, 6) + (-6, -4, 2, 2) + (3, 12, 24, 3) + (-8, -6, -6, -8) :
w = (20 - 6 + 3 - 8, 2 - 4 + 12 - 6, -2 + 2 + 24 - 6, 6 + 2 + 3 - 8) = (9, 4, 18, 3)
Vamos somar componente por componente:

Passo 6

Agora que temos o vetor a b c d, vamos encontrar suas coordenadas na base w = a cdot u1 + b cdot u2 + c cdot u3 + d cdot u4 . Isso significa encontrar um vetor tal que:
onde são os vetores da base .

Passo 7

Escrevendo isso em forma de sistema de equações:
3a + 2b - c + 0d = 9 1a + 1b + 0c + 1d = 4 1a + 1b + 0c + 0d = 18 0a + 2b -1c +1d = 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar .

Passo 8

Observamos que na terceira equação:
a + b = 18 Rightarrow a = 18 - b
Substituímos (18 - b) + b + d = 4 Rightarrow 18 + d = 4 Rightarrow d = -14 na segunda equação:
Agora, temos e .

Passo 9

Substituímos 3(18 - b) + 2b - c = 9 54 - 3b + 2b - c = 9 54 - b - c = 9 -b - c = -45 b + c = 45 e 2b - c + (-14) = 3 2b - c = 17 na primeira equação:
E na quarta equação:

Passo 10

Agora temos o sistema:
b + c = 45 2b - c = 17
Somando as duas equações:
b + c + 2b - c = 45 + 17 3b = 62 b = 623 approx 20,6667
Então,

Passo 11

Agora, sabemos que:
a = 18 - b = 18 - 623 = 54 - 623 = -83 approx -2,6667
d = -14

Resposta

Portanto, as coordenadas de [w]beta = -83 623 733 -14 na base são:

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