Considere as seguintes bases de :
e
Encontre sabendo que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases do espaço , chamadas e . O que a gente precisa encontrar é o vetor representado na base , sabendo que ele está representado na base por . Para isso, vamos usar conceitos de mudanças de base e coordenadas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base , com esses coeficientes. Ou seja:
onde são os vetores da base .

Passo 3

Vamos calcular o vetor explicitamente. Substituindo os vetores da base :
Então:

Passo 4

Vamos fazer as multiplicações:

Passo 5

Agora, somamos todos esses resultados para encontrar :
Vamos somar componente por componente:

Passo 6

Agora que temos o vetor , vamos encontrar suas coordenadas na base . Isso significa encontrar um vetor tal que:
onde são os vetores da base .

Passo 7

Escrevendo isso em forma de sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar .

Passo 8

Observamos que na terceira equação:
Substituímos na segunda equação:
Agora, temos e .

Passo 9

Substituímos e na primeira equação:
E na quarta equação:

Passo 10

Agora temos o sistema:
Somando as duas equações:
Então,

Passo 11

Agora, sabemos que:

Resposta

Portanto, as coordenadas de na base são:

Exercícios relacionados

Seja definida por
c) Qual a matriz de mudança da base canônica do para ?
Encontre as coordenadas cartesianas dos pontos:
Ache todas as possiveis formas canônicas de Jordan de um operador linear cujo polinômio caracteristico e e .
Seja J uma matriz de Jordan cujos termos da diagonal são iguais a .
a) Ache .