Ache todas as raízes da equação
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos encontrar todos os números complexos
que satisfazem essa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente propriedades do logaritmo de números complexos.
Passo 2
Sabemos que o logaritmo de um número complexo
pode ser expresso como:
onde
é o módulo de
,
é o argumento (ou ângulo) de
, e
é qualquer número inteiro, já que o argumento é periódico com período
.
Passo 3
Vamos comparar a expressão geral do logaritmo com a equação dada:
Isso nos dá duas equações separadas, comparando as partes real e imaginária:
Passo 4
Resolvendo a primeira equação:
Isso significa que
está no círculo unitário no plano complexo.
Passo 5
Agora, resolvendo a segunda equação para o argumento:
Como o argumento é definido até adições de
, podemos simplificar para:
Passo 6
Com o módulo e o argumento definidos, podemos expressar
na forma polar:
Sabemos que
.
Resposta
Todas as raízes da equação são
.