Ache todas as raízes da equação log z = 1/2 pi i

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos encontrar todos os números complexos que satisfazem essa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente propriedades do logaritmo de números complexos.

Passo 2

Sabemos que o logaritmo de um número complexo pode ser expresso como:
onde é o módulo de , é o argumento (ou ângulo) de , e é qualquer número inteiro, já que o argumento é periódico com período .

Passo 3

Vamos comparar a expressão geral do logaritmo com a equação dada:
Isso nos dá duas equações separadas, comparando as partes real e imaginária:

Passo 4

Resolvendo a primeira equação:
Isso significa que está no círculo unitário no plano complexo.

Passo 5

Agora, resolvendo a segunda equação para o argumento:
Como o argumento é definido até adições de , podemos simplificar para:

Passo 6

Com o módulo e o argumento definidos, podemos expressar na forma polar:
Sabemos que .

Resposta

Todas as raízes da equação são .

Exercícios relacionados