Seja
uma sequência convergente de números reais tal que para todo
Seja
o limite desta sequência. Indique a afirmação falsa.
(d) Se
, então existe
tal que
para todo
.
(d) Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de números reais
que converge para um limite
. A relação que define a sequência é:
O conteúdo principal aqui é sobre sequências convergentes e limites. Para resolver, precisamos saber como encontrar o limite
de uma sequência e verificar as propriedades dessa sequência quando ela converge.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o limite
da sequência. Sabendo que a sequência converge para
, tanto
quanto
vão se aproximar de
quando
tende ao infinito. Então, podemos substituir
e
por
na equação:
Isso nos dá uma equação para resolver.
Passo 3
Vamos resolver a equação para
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Isso resulta em:
Então, os possíveis limites são
ou
.
Passo 4
Agora, vamos analisar qual dessas soluções é válida para a sequência dada. Vamos verificar o comportamento da sequência:
Se
, substituindo na equação de recorrência:
Está correto.
Se
, substituindo:
Também está correto.
Então, ambos
e
são possíveis limites dependendo dos termos iniciais da sequência.
Passo 5
A afirmação que precisamos analisar é:
(d) Se, então existe tal que para todo .
Isso está dizendo que, se o limite for 1, eventualmente todos os termos da sequência serão exatamente 1 a partir de algum ponto.
Passo 6
Vamos verificar se isso é verdadeiro. Se
, e considerarmos a equação de recorrência:
Se
, então:
Ou seja, se a sequência chega a 1, ela permanece em 1. No entanto, isso não implica que a sequência necessariamente atinge exatamente 1 em algum ponto; ela pode apenas se aproximar cada vez mais de 1 sem nunca ser exatamente 1.
Resposta
A afirmação (d) é falsa.