Seja x0, x1, x2, ... uma sequência convergente de números reais tal que para todo n
x_{n+1} = x_{n}^2 / 2 + x_{n} - 1 / 2
Seja L o limite desta sequência. Indique a afirmação falsa.
(d) Se L=1, então existe n0 tal que x_n = 1 para todo n ≥ n0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de números reais que converge para um limite . A relação que define a sequência é:
O conteúdo principal aqui é sobre sequências convergentes e limites. Para resolver, precisamos saber como encontrar o limite de uma sequência e verificar as propriedades dessa sequência quando ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite da sequência. Sabendo que a sequência converge para , tanto quanto vão se aproximar de quando tende ao infinito. Então, podemos substituir e por na equação:
Isso nos dá uma equação para resolver.

Passo 3

Vamos resolver a equação para :
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Isso resulta em:
Então, os possíveis limites são ou .

Passo 4

Agora, vamos analisar qual dessas soluções é válida para a sequência dada. Vamos verificar o comportamento da sequência:
Se , substituindo na equação de recorrência:
Está correto.
Se , substituindo:
Também está correto.
Então, ambos e são possíveis limites dependendo dos termos iniciais da sequência.

Passo 5

A afirmação que precisamos analisar é:
(d) Se , então existe tal que para todo .
Isso está dizendo que, se o limite for 1, eventualmente todos os termos da sequência serão exatamente 1 a partir de algum ponto.

Passo 6

Vamos verificar se isso é verdadeiro. Se , e considerarmos a equação de recorrência:
Se , então:
Ou seja, se a sequência chega a 1, ela permanece em 1. No entanto, isso não implica que a sequência necessariamente atinge exatamente 1 em algum ponto; ela pode apenas se aproximar cada vez mais de 1 sem nunca ser exatamente 1.

Resposta

A afirmação (d) é falsa.

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