Ache todas as raízes da equação e^z = -3.

Passo 1

Vamos resolver a equação . Para isso, vamos usar conhecimentos de números complexos e a função exponencial. Precisaremos entender como expressar números complexos na forma exponencial e como encontrar todas as soluções para a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo na forma , onde é a parte real e é a parte imaginária de . Assim, a função exponencial de fica:

Passo 3

Sabemos que pode ser representado usando a fórmula de Euler:
Portanto, a equação torna-se:

Passo 4

Agora, igualamos as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação:

Passo 5

Da segunda equação , sabemos que nunca é zero. Portanto, para que a equação seja verdadeira, deve ser zero. Isso ocorre quando:
é

Passo 6

Substituindo na primeira equação:
Sabemos que . Então:

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Agora, temos todas as partes de :
é

Resposta

Todas as raízes da equação são dadas por:

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