Ache todas as raízes da equação
.
Passo 1
Vamos resolver a equação
. Para isso, vamos usar conhecimentos de números complexos e a função exponencial. Precisaremos entender como expressar números complexos na forma exponencial e como encontrar todas as soluções para a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo
na forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
. Assim, a função exponencial de
fica:
Passo 3
Sabemos que
pode ser representado usando a fórmula de Euler:
Portanto, a equação
torna-se:
Passo 4
Agora, igualamos as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação:
Passo 5
Da segunda equação
, sabemos que
nunca é zero. Portanto, para que a equação seja verdadeira,
deve ser zero. Isso ocorre quando:
Passo 6
Substituindo
na primeira equação:
Sabemos que
. Então:
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, temos todas as partes de
:
Resposta
Todas as raízes da equação
são dadas por: