Seja
uma sequência convergente de números reais tal que para todo
Seja
o limite desta sequência. Indique a afirmação falsa.
© Existe
e
tal que para todo
© Existe
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: Temos uma sequência de números reais
que converge para um limite
. A sequência é definida pela relação de recorrência:
Nosso objetivo é identificar qual das afirmações apresentadas é falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sequências convergentes, limites e taxas de convergência, além de analisar a validade das afirmações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o limite
da sequência. Como
converge para
, podemos substituir
e
por
na equação de recorrência:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então, temos:
Agora, precisamos determinar qual desses valores é o limite da sequência.
Passo 4
Para determinar qual valor
é o limite da sequência, vamos analisar o comportamento da recorrência. Se começarmos com um valor inicial
próximo de 1 ou -1, podemos observar que:
- Se
:
- Se
:
Ambos os valores são estáveis, mas geralmente consideramos sequências que convergem para 1 nesse tipo de recorrência.
Passo 5
Agora, vamos analisar a afirmação ©:
Existe e
tal que para todo
,
Existe
Essa afirmação sugere que a sequência converge para
com uma taxa geométrica, ou seja, a diferença entre
e
diminui exponencialmente.
Passo 6
Para verificar se isso é verdadeiro, precisamos calcular a taxa de convergência. Isso envolve encontrar a derivada da função de recorrência no ponto fixo
.
A função de recorrência é:
A derivada de
é:
No ponto fixo
:
Como
, a taxa de convergência não é geométrica com
.
Resposta
A afirmação © é falsa.