Seja x0, x1, x2, ... uma sequência convergente de números reais tal que para todo n
x_{n+1} = x_{n}^2 / 2 + x_{n} - 1 / 2
Seja L o limite desta sequência. Indique a afirmação falsa.
© Existe lambda in (0, 1) e C > 0 tal que para todo n
|L - xn| <= C lambda^n

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: Temos uma sequência de números reais que converge para um limite . A sequência é definida pela relação de recorrência:
Nosso objetivo é identificar qual das afirmações apresentadas é falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sequências convergentes, limites e taxas de convergência, além de analisar a validade das afirmações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite da sequência. Como converge para , podemos substituir e por na equação de recorrência:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, temos:
Agora, precisamos determinar qual desses valores é o limite da sequência.

Passo 4

Para determinar qual valor é o limite da sequência, vamos analisar o comportamento da recorrência. Se começarmos com um valor inicial próximo de 1 ou -1, podemos observar que:
  • Se :
  • Se :
Ambos os valores são estáveis, mas geralmente consideramos sequências que convergem para 1 nesse tipo de recorrência.

Passo 5

Agora, vamos analisar a afirmação ©:
Existe e tal que para todo ,
Essa afirmação sugere que a sequência converge para com uma taxa geométrica, ou seja, a diferença entre e diminui exponencialmente.

Passo 6

Para verificar se isso é verdadeiro, precisamos calcular a taxa de convergência. Isso envolve encontrar a derivada da função de recorrência no ponto fixo .
A função de recorrência é:
A derivada de é:
No ponto fixo :
Como , a taxa de convergência não é geométrica com .

Resposta

A afirmação © é falsa.

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