Encontre o valor principal de (1/2)^(pi i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor principal de . Esse problema está relacionado com exponenciais envolvendo números complexos. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de potências com expoentes complexos e a famosa fórmula de Euler, que conecta números complexos com funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever usando a definição de exponenciação com números complexos. Sabemos que , onde é a base dos logaritmos naturais.
Então,

Passo 3

Agora, vamos simplificar o logaritmo natural de . Sabemos que . Isso porque é o mesmo que , e usando as propriedades dos logaritmos, temos:
Então, substituindo na expressão:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula de Euler, que diz que . No nosso caso, temos , que fica:
Onde .

Passo 5

Aplicando a fórmula de Euler na nossa expressão:

Resposta

O valor principal de é

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