Encontre o valor principal de (-1 - i raiz(3))^(3 pi i);

Passo 1

Neste exercício, precisamos encontrar o valor principal de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos, como a forma polar e a definição de potências com expoentes complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o número complexo para a forma polar. Isso envolve encontrar o módulo (distância do ponto à origem) e o argumento (ângulo com o eixo real positivo).

Passo 3

Encontrando o módulo:
O módulo de um número complexo é dado por:
Aqui, e , então:

Passo 4

Encontrando o argumento:
O argumento é o ângulo que o número complexo faz com o eixo real positivo. Como ambos e são negativos, o número está no terceiro quadrante. O ângulo básico é:
Então, no terceiro quadrante:

Passo 5

Com o módulo e o argumento, podemos escrever na forma polar:

Passo 6

Agora, queremos calcular , ou seja:
Usamos a propriedade de potências de números complexos:
onde .

Passo 7

Aplicando a propriedade:
Aqui, usamos e simplificamos o expoente.

Passo 8

Combinando as exponenciais:
Separando as partes real e imaginária.

Passo 9

Expressando a parte complexa usando a fórmula de Euler:
Portanto, temos:

Resposta

O valor principal de é:

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