Encontre o valor principal de
;
Passo 1
Neste exercício, precisamos encontrar o valor principal de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos, como a forma polar e a definição de potências com expoentes complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o número complexo
para a forma polar. Isso envolve encontrar o módulo (distância do ponto à origem) e o argumento (ângulo com o eixo real positivo).
Passo 3
Encontrando o módulo:
O módulo
de um número complexo
é dado por:
Aqui,
e
, então:
Passo 4
Encontrando o argumento:
O argumento
é o ângulo que o número complexo faz com o eixo real positivo. Como ambos
e
são negativos, o número está no terceiro quadrante. O ângulo básico é:
Então, no terceiro quadrante:
Passo 5
Com o módulo e o argumento, podemos escrever
na forma polar:
Passo 6
Agora, queremos calcular
, ou seja:
Usamos a propriedade de potências de números complexos:
onde
.
Passo 7
Aplicando a propriedade:
Aqui, usamos
e simplificamos o expoente.
Passo 8
Combinando as exponenciais:
Separando as partes real e imaginária.
Passo 9
Expressando a parte complexa usando a fórmula de Euler:
Portanto, temos:
Resposta
O valor principal de
é: