Ache todas as soluções das seguintes EDO
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todas as soluções de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de EDOs lineares e talvez achar uma solução particular além da solução geral da equação homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
para facilitar:
Agora nossa EDO está numa forma mais manejável.
Passo 3
Vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo “-1/x²”:
Para isso, a gente pode reduzir a ordem da equação. Vamos deixar
. Assim, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que a gente consegue resolver facilmente.
Passo 4
Essa equação para
é uma equação linear de primeira ordem. O próximo passo é achar o fator integrante, que é:
Multiplicamos a equação por esse fator:
Integrando ambos os lados:
Agora, integremos
para achar
:
Aqui,
e
são constantes de integração que vão fazer parte da solução geral da homogênea.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o termo não homogêneo é constante (-1), tentamos uma solução do tipo
. Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação original:
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Ache todas as soluções das seguintes EDO
;
Deduza que as seguintes EDO
(onde
)
, sendo
e
constantes arbitrárias.
Determine e esboce o domínio da função.
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.