Ache todas as soluções das seguintes EDO
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todas as soluções de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de EDOs lineares e talvez achar uma solução particular além da solução geral da equação homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por para facilitar:
Agora nossa EDO está numa forma mais manejável.

Passo 3

Vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo “-1/x²”:
Para isso, a gente pode reduzir a ordem da equação. Vamos deixar . Assim, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que a gente consegue resolver facilmente.

Passo 4

Essa equação para é uma equação linear de primeira ordem. O próximo passo é achar o fator integrante, que é:
Multiplicamos a equação por esse fator:
Integrando ambos os lados:
Agora, integremos para achar :
Aqui, e são constantes de integração que vão fazer parte da solução geral da homogênea.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o termo não homogêneo é constante (-1), tentamos uma solução do tipo . Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação original:
Resolvendo para :
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Ache todas as soluções das seguintes EDO
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Deduza que as seguintes EDO
(onde ) , sendo e constantes arbitrárias.
Determine e esboce o domínio da função.
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.