Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer o mapa de contorno da função
mostrando várias curvas de nível. Isso envolve a parte de cálculo que trata das curvas de nível, que são aquelas linhas no gráfico onde a função assume valores constantes. Vamos precisar entender como essas curvas se comportam para diferentes valores de
na equação
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. São simplesmente as curvas onde a função
é igual a uma constante
. Ou seja, para cada valor de
, temos uma equação
que define uma curva no plano
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos:
Vamos rearranjar para isolar
:
Isso significa que para cada valor de
, a curva de nível é um gráfico da função
, que é uma cúbica deslocada verticalmente por
.
Passo 4
Agora, vamos escolher alguns valores de
para plotar as curvas de nível. Por exemplo, podemos escolher
,
,
,
e
.
Passo 5
Para cada valor de
, substituímos na equação
e plotamos a curva correspondente:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 6
Plotando essas curvas no mesmo gráfico, vamos observar que todas são cúbicas que se deslocam para cima ou para baixo conforme o valor de
. Isso cria um mapa de contorno onde cada curva representa um nível diferente da função.
Resposta
Fazendo isso, conseguimos visualizar o mapa de contorno da função
, com várias curvas de nível que são cúbicas deslocadas verticalmente por diferentes valores de
.
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