Determine e esboce o domínio da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar e esboçar o domínio da função . Isso envolve matemática, mais especificamente funções de duas variáveis e o conceito de domínio delas. Para resolver, vamos precisar entender onde a função está definida, ou seja, para quais valores de e a função não dá nenhum problema, como números imaginários ou divisão por zero.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, para , o que está dentro da raiz, que é , precisa ser maior ou igual a zero:
Isso já nos dá uma condição inicial para o domínio.

Passo 3

Agora, olhemos para a segunda parte da função: . Assim como antes, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Vamos rearranjar essa inequação para facilitar a interpretação:
Isso representa um círculo com raio 5 no plano , incluindo a borda.

Passo 4

Agora, juntando as duas condições que encontramos:
  1. (a parte superior do plano)
  2. (dentro e na borda de um círculo de raio 5)
A interseção dessas duas condições nos dá o domínio da função. Isso significa que o domínio é a parte do círculo de raio 5 que está acima do eixo .

Passo 5

Para esboçar o domínio, desenhe um círculo com centro na origem e raio 5. Depois, destaque apenas a parte do círculo que está acima do eixo , já que precisa ser maior ou igual a zero.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos tais que e . Graficamente, isso corresponde à meia-circunferência superior de raio 5 centrada na origem.

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Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
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