Deduza que as seguintes EDO (onde ) , sendo e constantes arbitrárias.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzir que a equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem , onde é um número real positivo, tem a solução geral . Isso está relacionado ao estudo de EDOs com coeficientes constantes e envolve encontrar as soluções usando funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, a gente monta a equação característica. No caso da nossa EDO, a equação característica é dada por:
Aqui, representa as raízes que vamos encontrar.
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Encontramos raízes imaginárias puras, onde é a unidade imaginária. Quando as raízes são complexas, as soluções da EDO são combinações de seno e cosseno.
Passo 4
Com as raízes , a solução geral da EDO é:
Aqui, e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais ou de contorno do problema.
Passo 5
Então, vimos que ao resolver a equação característica da EDO , chegamos à solução geral em termos de funções cosseno e seno. Isso confirma que a solução dada no enunciado está correta.