Deduza que as seguintes EDO
(onde ) , sendo e constantes arbitrárias.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzir que a equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem , onde é um número real positivo, tem a solução geral . Isso está relacionado ao estudo de EDOs com coeficientes constantes e envolve encontrar as soluções usando funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, a gente monta a equação característica. No caso da nossa EDO, a equação característica é dada por:
Aqui, representa as raízes que vamos encontrar.

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
Encontramos raízes imaginárias puras, onde é a unidade imaginária. Quando as raízes são complexas, as soluções da EDO são combinações de seno e cosseno.

Passo 4

Com as raízes , a solução geral da EDO é:
Aqui, e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais ou de contorno do problema.

Passo 5

Então, vimos que ao resolver a equação característica da EDO , chegamos à solução geral em termos de funções cosseno e seno. Isso confirma que a solução dada no enunciado está correta.

Resposta

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Ache todas as soluções das seguintes EDO
Deduza que as seguintes EDO
(onde ) sendo e constantes arbitrárias.
Para responder b) revise, primeiro, como deduzir que:
Ache todas as soluções das seguintes EDO
;
Ache todas as soluções das seguintes EDO
;