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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é para . O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo, mais especificamente de EDOs de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar transformar a equação e integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar de , ou seja, . Assim, a segunda derivada vira . Substituindo na equação original, temos:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para em termos de .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis para facilitar a resolução. Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Isso deixa a equação pronta para integração.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados. A integral de é , e a integral de é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por -1:
Invertendo para encontrar :

Passo 6

Lembrando que , agora temos:
Agora, precisamos integrar essa expressão para encontrar .

Passo 7

Vamos integrar em relação a :
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição , daí ou . Substituindo:
Depois de simplificar e integrar:
Voltando para :
Onde é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Deduza que as seguintes EDO
(onde ) , sendo e constantes arbitrárias.
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Determine e esboce o domínio da função.