Ache todas as soluções das seguintes EDO
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é
para
. O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo, mais especificamente de EDOs de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar transformar a equação e integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar
de
, ou seja,
. Assim, a segunda derivada
vira
. Substituindo na equação original, temos:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para
em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis para facilitar a resolução. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Isso deixa a equação pronta para integração.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados. A integral de
é
, e a integral de
é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Invertendo para encontrar
:
Passo 6
Lembrando que
, agora temos:
Agora, precisamos integrar essa expressão para encontrar
.
Passo 7
Vamos integrar
em relação a
:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição
, daí
ou
. Substituindo:
Depois de simplificar e integrar:
Voltando para
:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Deduza que as seguintes EDO
(onde
)
, sendo
e
constantes arbitrárias.
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Determine e esboce o domínio da função.