Ache todas as soluções das seguintes EDO
y y'' + (y')^2 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar todas as soluções da seguinte Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Estamos lidando com cálculo, especificamente com EDOs de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de manipulação de equações diferenciais e um pouco de substituição inteligente. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Observando:
Perceba que isso se assemelha à segunda derivada de . Vamos calcular a segunda derivada de para ver se conseguimos relacionar com nossa EDO.
Sabemos que:
Comparando com nossa EDO:
Observamos que:

Passo 3

Então, temos:
Isso significa que a segunda derivada de é zero. Integrando isso, vamos encontrar uma expressão para .
Primeira integração:
onde é uma constante de integração.

Passo 4

Agora, integramos novamente para encontrar :
Aqui, é outra constante de integração. Então, temos:
Essa é a solução geral da EDO dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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