Ache todas as soluções das seguintes EDO

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar todas as soluções da seguinte Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Estamos lidando com cálculo, especificamente com EDOs de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de manipulação de equações diferenciais e um pouco de substituição inteligente. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Observando:
Perceba que isso se assemelha à segunda derivada de . Vamos calcular a segunda derivada de para ver se conseguimos relacionar com nossa EDO.
Sabemos que:
Comparando com nossa EDO:
Observamos que:

Passo 3

Então, temos:
Isso significa que a segunda derivada de é zero. Integrando isso, vamos encontrar uma expressão para .
Primeira integração:
onde é uma constante de integração.

Passo 4

Agora, integramos novamente para encontrar :
Aqui, é outra constante de integração. Então, temos:
Essa é a solução geral da EDO dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Deduza que as seguintes EDO
(onde ) sendo e constantes arbitrárias.
Para responder b) revise, primeiro, como deduzir que:
Deduza que o seguinte problema de valor inicial
onde e , possui como solução única:
onde
Deduza que as seguintes EDO
(onde ) , sendo e constantes arbitrárias.
Ache todas as soluções das seguintes EDO
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