Ache todas as soluções das seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar todas as soluções da seguinte Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Estamos lidando com cálculo, especificamente com EDOs de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de manipulação de equações diferenciais e um pouco de substituição inteligente. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Observando:
Perceba que isso se assemelha à segunda derivada de
. Vamos calcular a segunda derivada de
para ver se conseguimos relacionar com nossa EDO.
Sabemos que:
Comparando com nossa EDO:
Observamos que:
Passo 3
Então, temos:
Isso significa que a segunda derivada de
é zero. Integrando isso, vamos encontrar uma expressão para
.
Primeira integração:
onde
é uma constante de integração.
Passo 4
Agora, integramos novamente para encontrar
:
Aqui,
é outra constante de integração. Então, temos:
Essa é a solução geral da EDO dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.