Ache todas as soluções das seguintes EDO

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada por:
Esse problema envolve o tema de equações diferenciais de segunda ordem. Para resolvê-la, vamos precisar usar técnicas de redução da ordem e separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação. Seja , onde representa a derivada de em relação a . Assim, a segunda derivada fica .
Substituindo na EDO original:
Isso nos dá uma equação diferencial de primeira ordem para em função de .

Passo 3

Rearranjando a equação:
Ou seja,
Aqui, representa a derivada de em relação a . Mas queremos expressar tudo em termos de , então vamos usar a relação .

Passo 4

Usando a regra da cadeia, temos:
Substituindo na equação anterior:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, temos uma equação diferencial separável para em função de .

Passo 5

Vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:
Essa é uma equação diferencial separável para em função de .

Passo 7

Vamos separar as variáveis novamente:
Integrando ambos os lados:
Onde é outra constante de integração.

Passo 8

Calculando a integral:
Podemos combinar as constantes:
Onde representa a constante geral após a combinação.

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule a integral indefinida:
Calcule a integral indefinida:
Em cada um dos problemas seguintes escreva uma equação diferencial da forma cujas soluções tem o comportamento descrito quando :
Todas as soluções tendem a
Deduza que o seguinte problema de valor inicial
onde e , possui como solução única:
onde