Ache todas as soluções das seguintes EDO
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada por:
Esse problema envolve o tema de equações diferenciais de segunda ordem. Para resolvê-la, vamos precisar usar técnicas de redução da ordem e separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação. Seja
, onde
representa a derivada de
em relação a
. Assim, a segunda derivada fica
.
Substituindo na EDO original:
Isso nos dá uma equação diferencial de primeira ordem para
em função de
.
Passo 3
Rearranjando a equação:
Ou seja,
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Mas queremos expressar tudo em termos de
, então vamos usar a relação
.
Passo 4
Usando a regra da cadeia, temos:
Substituindo na equação anterior:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, temos uma equação diferencial separável para
em função de
.
Passo 5
Vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Essa é uma equação diferencial separável para
em função de
.
Passo 7
Vamos separar as variáveis novamente:
Integrando ambos os lados:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 8
Calculando a integral:
Podemos combinar as constantes:
Onde
representa a constante geral após a combinação.
Resposta
A solução geral da EDO é dada implicitamente por:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule a integral indefinida:
Calcule a integral indefinida:
Em cada um dos problemas seguintes escreva uma equação diferencial da forma
cujas soluções tem o comportamento descrito quando
:
Todas as soluções tendem a
Todas as soluções tendem a
Deduza que o seguinte problema de valor inicial
onde
e
, possui como solução única:
onde