Deduza que o seguinte problema de valor inicial
c d yd x+p(x) y=q(x), x in(a, b) y(x0)=y0
onde x0 in(a, b) e p(x), q(x) in C(a, b), possui como solução única:
y=1mu(x) integralx0^x q(s) mu(s) d s+y0mu(x)
onde mu(x)=e^integralx0^x p(s) d s

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá nos pedindo. Temos um problema de valor inicial que é uma equação diferencial da forma:
dydx + p(x) y = q(x)
com a condição inicial y = 1mu(x) integralx0^x q(s) mu(s) , ds + y0mu(x) .
O objetivo é mostrar que a solução única dessa equação é:
onde .
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos na equação diferencial:
dydx + p(x) y = q(x)
Aqui, é a função que multiplica , e é a função do lado direito da equação. Nosso objetivo é encontrar uma função que, quando multiplicada pela equação, torne o lado esquerdo uma derivada exata.

Passo 3

Definimos o fator integrante mu(x) = e^integral p(x) , dx como:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação. É uma técnica comum para resolver equações lineares de primeira ordem.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x) dydx + mu(x) p(x) y = mu(x) q(x) :
O objetivo aqui é transformar o lado esquerdo em uma derivada da função multiplicada pelo fator integrante.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto ddx [mu(x) y] = mu(x) q(x) :
Isso simplifica bastante a equação, pois agora temos uma equação mais fácil de integrar.

Passo 6

Integramos ambos os lados da equação em relação a integral ddx [mu(x) y] , dx = integral mu(x) q(x) , dx :
A integral da derivada à esquerda simplesmente nos dá , e a integral à direita permanece como está.

Passo 7

Após a integração, temos:
mu(x) y = integral mu(x) q(x) , dx + C
Aqui, é a constante de integração que precisaremos determinar usando a condição inicial.

Passo 8

Resolvemos para y = 1mu(x) ( integral mu(x) q(x) , dx + C ) dividindo ambos os lados por :
Agora, precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 9

Aplicamos a condição inicial y0 = 1mu(x0) ( integralx0^x0 mu(s) q(s) , ds + C ) :
y0 = Cmu(x0)
Note que a integral de C = y0 mu(x0) a é zero, então:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 10

Substituímos y = 1mu(x) ( integralx0^x mu(s) q(s) , ds + y0 mu(x0) ) de volta na equação de y = 1mu(x) integralx0^x mu(s) q(s) , ds + y0mu(x) :
Mas como , fica:

Resposta

A solução única do problema de valor inicial é:
y = 1mu(x) integralx0^x q(s) mu(s) , ds + y0mu(x)
onde .

Exercícios relacionados