Deduza que o seguinte problema de valor inicial
onde
e
, possui como solução única:
onde
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá nos pedindo. Temos um problema de valor inicial que é uma equação diferencial da forma:
com a condição inicial
.
O objetivo é mostrar que a solução única dessa equação é:
onde
.
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos na equação diferencial:
Aqui,
é a função que multiplica
, e
é a função do lado direito da equação. Nosso objetivo é encontrar uma função que, quando multiplicada pela equação, torne o lado esquerdo uma derivada exata.
Passo 3
Definimos o fator integrante
como:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação. É uma técnica comum para resolver equações lineares de primeira ordem.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
O objetivo aqui é transformar o lado esquerdo em uma derivada da função
multiplicada pelo fator integrante.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto
:
Isso simplifica bastante a equação, pois agora temos uma equação mais fácil de integrar.
Passo 6
Integramos ambos os lados da equação em relação a
:
A integral da derivada à esquerda simplesmente nos dá
, e a integral à direita permanece como está.
Passo 7
Após a integração, temos:
Aqui,
é a constante de integração que precisaremos determinar usando a condição inicial.
Passo 8
Resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Agora, precisamos determinar
usando a condição inicial.
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
:
Note que a integral de
a
é zero, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Substituímos
de volta na equação de
:
Mas como
, fica:
Resposta
A solução única do problema de valor inicial é:
onde
.