Deduza que o seguinte problema de valor inicial
onde e , possui como solução única:
onde

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá nos pedindo. Temos um problema de valor inicial que é uma equação diferencial da forma:
com a condição inicial .
O objetivo é mostrar que a solução única dessa equação é:
onde .
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos na equação diferencial:
Aqui, é a função que multiplica , e é a função do lado direito da equação. Nosso objetivo é encontrar uma função que, quando multiplicada pela equação, torne o lado esquerdo uma derivada exata.

Passo 3

Definimos o fator integrante como:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação. É uma técnica comum para resolver equações lineares de primeira ordem.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
O objetivo aqui é transformar o lado esquerdo em uma derivada da função multiplicada pelo fator integrante.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto :
Isso simplifica bastante a equação, pois agora temos uma equação mais fácil de integrar.

Passo 6

Integramos ambos os lados da equação em relação a :
A integral da derivada à esquerda simplesmente nos dá , e a integral à direita permanece como está.

Passo 7

Após a integração, temos:
Aqui, é a constante de integração que precisaremos determinar usando a condição inicial.

Passo 8

Resolvemos para dividindo ambos os lados por :
Agora, precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 9

Aplicamos a condição inicial :
Note que a integral de a é zero, então:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 10

Substituímos de volta na equação de :
Mas como , fica:

Resposta

A solução única do problema de valor inicial é:
onde .

Exercícios relacionados

Em cada um dos problemas seguintes escreva uma equação diferencial da forma cujas soluções tem o comportamento descrito quando :
Todas as soluções tendem a
Ache todas as soluções das seguintes EDO
Deduza que as seguintes EDO
(onde ) sendo e constantes arbitrárias.
Para responder b) revise, primeiro, como deduzir que:
Ache todas as soluções das seguintes EDO