Calcule a integral indefinida:
integral x+1(2 x+x^2) raiz2 x+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral indefinida:
integral x+1(2x + x^2) raiz2x + x^2 , dx
Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo substituição e funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para o denominador, temos u = x^2 + 2x , que podemos reescrever como dudx = 2x + 2 = 2(x + 1) . Vamos definir:
dx = du2(x + 1)
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Isso significa que:

Passo 3

Vamos substituir integral x+1u raizu cdot du2(x + 1) = integral 12u raizu , du e 12 integral u^-3/2 , du na integral original. Substituindo e , a integral fica:
Simplificando a expressão:
Agora, vamos integrar .

Passo 4

A integral de integral u^n , du = u^n+1n+1 + C é dada por:
12 cdot u^-1/2-12 + C = -u^-1/2 + C
No nosso caso, u = x^2 + 2x , então:
- 1raizx^2 + 2x + C
Agora, vamos voltar à variável original :
Então:

Resposta

-,1,raiz,2x + x^2,,, + C

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