Calcule a integral indefinida:
integral d xraiz1+x+x^2

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa calcular a integral indefinida de dxraiz1 + x + x^2. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções quadráticas dentro de uma raiz quadrada. Para resolver isso, a gente vai precisar completar o quadrado no denominador e usar uma substituição trigonométrica ou uma forma de integração que simplifique a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador para simplificar a expressão dentro da raiz. Temos:
1 + x + x^2 = x^2 + x + 1
Para completar o quadrado, reorganizamos os termos:
x^2 + x + 1 = (x^2 + x + (12)^2) - (12)^2 + 1 = (x + 12)^2 + 34
Então, agora a integral fica:
integral dxraiz(x + 12)^2 + 34

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar:
u = x + 12
Então, du = dx
A integral fica:
integral duraizu^2 + (raiz32)^2

Passo 4

Essa integral tem a forma padrão:
integral duraizu^2 + a^2 = ln|u + raizu^2 + a^2| + C
onde a = raiz32.

Passo 5

Aplicando a fórmula padrão, temos:
ln|u + raizu^2 + (raiz32)^2| + C = ln|x + 12 + raiz(x + 12)^2 + 34| + C

Resposta

A integral indefinida é:
ln|x + 12 + raiz(x + 12)^2 + 34| + C

Exercícios relacionados