Em cada um dos problemas seguintes escreva uma equação diferencial da forma d y/d x = a y + b cujas soluções tem o comportamento descrito quando x -> infinito :
Todas as soluções tendem a y = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para escrever uma equação diferencial da forma cujas soluções tendem a quando vai para o infinito. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e analisar o comportamento das soluções para encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada: . Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação tem a forma:
onde é uma constante que será determinada pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, queremos que todas as soluções dessa equação tendam a quando . Vamos analisar o comportamento da solução geral:
Para que esse limite seja igual a 3, precisamos que o termo desapareça quando aumenta indefinidamente. Isso só acontece se , pois tende a zero quando é negativo.

Passo 4

Com , o limite da solução geral fica:
Resolvendo essa equação para :
Isso nos dá a relação entre e necessária para que as soluções da equação diferencial tendam a 3 quando vai para o infinito.

Passo 5

Com a relação , podemos escrever a equação diferencial desejada substituindo :
Onde é um número real negativo ( ) para garantir que tende a 3 quando .

Resposta

A equação diferencial que satisfaz as condições do exercício é:

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