Em cada um dos problemas seguintes escreva uma equação diferencial da forma
cujas soluções tem o comportamento descrito quando
:
Todas as soluções tendem a
Todas as soluções tendem a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para escrever uma equação diferencial da forma
cujas soluções tendem a
quando
vai para o infinito. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e analisar o comportamento das soluções para encontrar os valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada:
. Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação tem a forma:
onde
é uma constante que será determinada pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, queremos que todas as soluções dessa equação tendam a
quando
. Vamos analisar o comportamento da solução geral:
Para que esse limite seja igual a 3, precisamos que o termo
desapareça quando
aumenta indefinidamente. Isso só acontece se
, pois
tende a zero quando
é negativo.
Passo 4
Com
, o limite da solução geral fica:
Resolvendo essa equação para
:
Isso nos dá a relação entre
e
necessária para que as soluções da equação diferencial tendam a 3 quando
vai para o infinito.
Passo 5
Com a relação
, podemos escrever a equação diferencial desejada substituindo
:
Onde
é um número real negativo (
) para garantir que
tende a 3 quando
.
Resposta
A equação diferencial que satisfaz as condições do exercício é:
Exercícios relacionados
Ache todas as soluções das seguintes EDO
Calcule a integral indefinida:
Deduza que o seguinte problema de valor inicial
onde
e
, possui como solução única:
onde
Deduza que as seguintes EDO
(onde
)
sendo
e
constantes arbitrárias.
Para responder b) revise, primeiro, como deduzir que:
Para responder b) revise, primeiro, como deduzir que: