Deduza que as seguintes EDO
y^prime prime-k^2 y=0, x in R (onde k in R^+) y=A e^k x+B e^-k x sendo A e B constantes arbitrárias.
Para responder b) revise, primeiro, como deduzir que:
& I1=integral d yraizy^2+1=ln (y+raizy^2+1)+c & I2=integral d yraizy^2-1=ln |y+raizy^2-1|+c

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você está pedindo é para deduzir as integrais e que envolvem funções com raiz quadrada. Isso está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente a técnicas de integração envolvendo funções quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar usar substituições trigonométricas ou hyperbólicas e entender como transformar a integral para chegar na forma do logaritmo que você mencionou.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
I1 = integral dyraizy^2 + 1
Esse tipo de integral aparece quando temos uma expressão dentro da raiz quadrada que é uma soma de com uma constante. Para resolver isso, podemos usar uma substituição hiperbólica ou lembrar de integrais padrões.

Passo 3

Sabemos que:
integral dyraizy^2 + a^2 = ln (y + raizy^2 + a^2) + C
No nosso caso, I1 = ln (y + raizy^2 + 1) + C . Então, aplicando essa fórmula:
Isso confirma a expressão que você forneceu.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral:
I2 = integral dyraizy^2 - 1
Aqui, temos uma diferença dentro da raiz quadrada. Esse caso também é tratado por uma fórmula padrão de integrais.

Passo 5

A fórmula para essa integral é:
integral dyraizy^2 - a^2 = ln |y + raizy^2 - a^2| + C
Novamente, temos I2 = ln |y + raizy^2 - 1| + C . Aplicando a fórmula:
E assim, chegamos à expressão desejada para .

Resposta

Portanto, deduzimos que:
& I1=integral d yraizy^2+1=ln (y+raizy^2+1)+C & I2=integral d yraizy^2-1=ln |y+raizy^2-1|+C

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