Deduza que as seguintes EDO
(onde ) sendo e constantes arbitrárias.
Para responder b) revise, primeiro, como deduzir que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você está pedindo é para deduzir as integrais e que envolvem funções com raiz quadrada. Isso está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente a técnicas de integração envolvendo funções quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar usar substituições trigonométricas ou hyperbólicas e entender como transformar a integral para chegar na forma do logaritmo que você mencionou.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
Esse tipo de integral aparece quando temos uma expressão dentro da raiz quadrada que é uma soma de com uma constante. Para resolver isso, podemos usar uma substituição hiperbólica ou lembrar de integrais padrões.

Passo 3

Sabemos que:
No nosso caso, . Então, aplicando essa fórmula:
Isso confirma a expressão que você forneceu.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral:
Aqui, temos uma diferença dentro da raiz quadrada. Esse caso também é tratado por uma fórmula padrão de integrais.

Passo 5

A fórmula para essa integral é:
Novamente, temos . Aplicando a fórmula:
E assim, chegamos à expressão desejada para .

Resposta

Portanto, deduzimos que:

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Deduza que o seguinte problema de valor inicial
onde e , possui como solução única:
onde
Em cada um dos problemas seguintes escreva uma equação diferencial da forma cujas soluções tem o comportamento descrito quando :
Todas as soluções tendem a
Ache todas as soluções das seguintes EDO
Deduza que as seguintes EDO
(onde ) , sendo e constantes arbitrárias.