Ache todas as soluções do sistema l3 x+y+2 z=0 2 x+y+3 z=0 x+y+z=0

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações lineares:
3x + y + 2z = 0 2x + y + 3z = 0 x + y + z = 0
Este exercício faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas de equações lineares. Para resolver esse sistema, vamos utilizar o método de eliminação, que nos ajuda a simplificar as equações e encontrar os valores das incógnitas , e .

Passo 2

Primeiro, vamos eliminar uma das variáveis para reduzir o número de equações. Vou escolher eliminar a variável (3x + y + 2z) - (2x + y + 3z) = 0 - 0 . Para isso, vamos subtrair a segunda equação da primeira:
3x - 2x + y - y + 2z - 3z = 0 x - z = 0
Simplificando:
x = z
Isso nos dá a relação:

Passo 3

Agora que sabemos que x + y + z = 0 , podemos substituir esse valor na terceira equação do sistema:
x + y + x = 0 2x + y = 0
Substituindo y = -2x por :
Isolando :

Passo 4

Até agora, descobrimos que x = t y = -2t z = t e . Vamos expressar todas as variáveis em termos de . Podemos considerar como um parâmetro livre, digamos . Então:

Resposta

Todas as soluções do sistema são:
(x, y, z) = (t, -2t, t), onde t in R

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