Considere o sistema lx-2 y+z=a 2 x+y+z=b 5 y-z=c
Para quais valores de a, b e c o sistema possui solução ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de três equações com três incógnitas: , e . O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente sistemas lineares. Para descobrir para quais valores de , e o sistema tem solução, vamos usar métodos de substituição e análise de consistência das equações.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a terceira equação: z = 5y - c . Ela é mais simples e podemos isolar o ali. Vamos rearranjar para encontrar em função de e :

Passo 3

Agora que temos x - 2y + z = a Rightarrow x - 2y + (5y - c) = a em termos de x + 3y - c = a Rightarrow x + 3y = a + c , podemos substituir essa expressão nas duas primeiras equações para eliminar o . Vamos começar com a primeira equação:
Simplificando:

Passo 4

Fazendo o mesmo com a segunda equação:
2x + y + z = b Rightarrow 2x + y + (5y - c) = b
Simplificando:
2x + 6y - c = b Rightarrow 2x + 6y = b + c

Passo 5

Agora temos um sistema simplificado com duas equações e duas incógnitas:
x + 3y = a + c 2x + 6y = b + c
Notamos que a segunda equação é o dobro da primeira quando . Isso significa que para que o sistema tenha soluções, essa condição deve ser satisfeita.

Passo 6

Vamos impor a condição de consistência:
2(a + c) = b + c Rightarrow 2a + 2c = b + c Rightarrow 2a + c = b
Portanto, para que o sistema tenha solução, os valores de , e devem satisfazer a relação .

Resposta

O sistema possui solução para todos os valores de 2a + c = b , e que satisfazem a relação

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