Nos itens (a)-(g) é apresentado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar pelo menos um axioma que não se verifica.
(d) R^3,(x, y, z)+(x^prime, y^prime, z^prime)=(x, y, z) e k(x, y, z)=(k x, k y, k z).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto formado por vetores tridimensionais com operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
  • Adição:
  • Multiplicação por escalar:
O conteúdo que estamos trabalhando aqui é o de espaços vetoriais, que são conjuntos de vetores onde certas propriedades (axiomas) são satisfeitas. Nosso objetivo é verificar se, com essas definições de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Se não for, precisamos identificar pelo menos um axioma que não se cumpre.

Passo 2

Vamos relembrar rapidamente quais são os axiomas que definem um espaço vetorial. Alguns deles são:
  1. Comutatividade da adição:
  2. Associatividade da adição:
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor tal que
  4. Existência de inverso aditivo: Para todo , existe tal que
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
  6. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Vamos verificar se essas propriedades são satisfeitas com as definições dadas.

Passo 3

Vamos começar pela comutatividade da adição. Segundo as definições:
(x, y, z) + (x', y', z') = (x, y, z)
(x', y', z') + (x, y, z) = (x', y', z')
Para que a adição seja comutativa, precisamos que u + v = (1, 2, 3) para quaisquer vetores, o que geralmente não é verdade.
Por exemplo, se escolhermos v + u = (4, 5, 6) e :
Claramente, , a menos que .

Passo 4

Como a comutatividade da adição não está sendo satisfeita, já podemos concluir que com essas operações não é um espaço vetorial. Não precisamos verificar todos os outros axiomas, pois basta que um deles não seja satisfeito para afirmar que não é um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto com as operações de adição definidas por e multiplicação por escalar não é um espaço vetorial, pois a comutatividade da adição não é satisfeita.

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