Nos itens (a)-(g) é apresentado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar pelo menos um axioma que não se verifica.
(d)
e
.
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto formado por vetores tridimensionais
com operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
O conteúdo que estamos trabalhando aqui é o de espaços vetoriais, que são conjuntos de vetores onde certas propriedades (axiomas) são satisfeitas. Nosso objetivo é verificar se, com essas definições de adição e multiplicação por escalar,
forma um espaço vetorial. Se não for, precisamos identificar pelo menos um axioma que não se cumpre.
Passo 2
Vamos relembrar rapidamente quais são os axiomas que definem um espaço vetorial. Alguns deles são:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor
tal que - Existência de inverso aditivo: Para todo
, existe tal que - Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Vamos verificar se essas propriedades são satisfeitas com as definições dadas.
Passo 3
Vamos começar pela comutatividade da adição. Segundo as definições:
Para que a adição seja comutativa, precisamos que
para quaisquer vetores, o que geralmente não é verdade.
Por exemplo, se escolhermos
e
:
Claramente,
, a menos que
.
Passo 4
Como a comutatividade da adição não está sendo satisfeita, já podemos concluir que
com essas operações não é um espaço vetorial. Não precisamos verificar todos os outros axiomas, pois basta que um deles não seja satisfeito para afirmar que não é um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto
com as operações de adição definidas por
e multiplicação por escalar
não é um espaço vetorial, pois a comutatividade da adição não é satisfeita.