Ache todos os números para os quais f é contínua.
40 f(x) = raiz((2 + x)(3 - x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os números onde a função é contínua. Isso envolve entender sobre continuidade de funções e domínio de funções. Vamos precisar verificar onde a expressão dentro da raiz quadrada é válida, ou seja, onde ela é maior ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para a função ser definida (e, portanto, contínua), o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Isso porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.
Então, temos que:

Passo 3

Agora, vamos resolver a desigualdade . Para isso, identificamos os pontos críticos onde a expressão muda de sinal. Esses pontos ocorrem quando cada fator é igual a zero:

Passo 4

Com os pontos críticos e , dividimos a reta numérica em três intervalos para testar o sinal da expressão em cada um:
  1. Intervalo 1:
  2. Intervalo 2:
  3. Intervalo 3:
Vamos escolher um número teste em cada intervalo para verificar o sinal da expressão.

Passo 5

Intervalo 1:
Escolha :
Intervalo 2:
Escolha :
Intervalo 3:
Escolha :

Passo 6

Analisando os sinais:
  • No Intervalo 1 e Intervalo 3, a expressão é negativa, então não satisfazemos a condição.
  • No Intervalo 2, a expressão é positiva, o que satisfaz .
Além disso, nos pontos e , a expressão é igual a zero, o que também é permitido.

Resposta

A função é contínua para todos os números reais tais que:

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