Ache todos os números para os quais
é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os números onde a função
é contínua. Isso envolve entender sobre continuidade de funções e domínio de funções. Vamos precisar verificar onde a expressão dentro da raiz quadrada é válida, ou seja, onde ela é maior ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para a função
ser definida (e, portanto, contínua), o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Isso porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.
Então, temos que:
Passo 3
Agora, vamos resolver a desigualdade
. Para isso, identificamos os pontos críticos onde a expressão muda de sinal. Esses pontos ocorrem quando cada fator é igual a zero:
Passo 4
Com os pontos críticos
e
, dividimos a reta numérica em três intervalos para testar o sinal da expressão em cada um:
- Intervalo 1:
- Intervalo 2:
- Intervalo 3:
Vamos escolher um número teste em cada intervalo para verificar o sinal da expressão.
Passo 5
Intervalo 1:
Escolha :
Escolha
Intervalo 2:
Escolha :
Escolha
Intervalo 3:
Escolha :
Escolha
Passo 6
Analisando os sinais:
- No Intervalo 1 e Intervalo 3, a expressão é negativa, então não satisfazemos a condição.
- No Intervalo 2, a expressão é positiva, o que satisfaz
.
Além disso, nos pontos
e
, a expressão é igual a zero, o que também é permitido.
Resposta
A função
é contínua para todos os números reais
tais que: