Seja
definida como segue
Mostre que
não existe para nenhum número real
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite de
não existe para nenhum número real
. A função
é definida assim:
Vamos usar o conceito de limite em cálculo, que basicamente verifica qual valor
se aproxima quando
está chegando perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os números racionais e irracionais estão misturados em qualquer intervalo ao redor de
. Ou seja, não importa quão perto
esteja de
, sempre teremos valores racionais e irracionais.
Passo 3
Vamos tentar supor que o limite existe e seja igual a algum número
. Isso significa que, para qualquer proximidade que a gente escolher próxima de
, os valores de
devem ficar cada vez mais próximos de
.
Passo 4
Vamos analisar os dois casos:
- Quando
é racional: - Quando
é irracional:
Isso significa que, dependendo se
é racional ou irracional perto de
,
estará alternando entre 1 e -1.
Passo 5
Para o limite existir, os dois casos deveriam se aproximar do mesmo valor
. Mas aqui:
- Se
é racional, se aproxima de 1. - Se
é irracional, se aproxima de -1.
Como 1 e -1 são diferentes, não há um único valor
que funcione para ambos os casos.
Passo 6
Portanto, não existe um único valor
que satisfaça a condição do limite para todos os valores de
próximos a
.
Resposta
O limite de
não existe para nenhum número real
.