Seja f definida como segue
f(x)=rll1 & se & x é racional -1 & se & x é irracional éé
Mostre que lim f(x) não existe para nenhum número real a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite de f(x) = 1 & se x é racional -1 & se x é irracional não existe para nenhum número real . A função é definida assim:
éé
Vamos usar o conceito de limite em cálculo, que basicamente verifica qual valor se aproxima quando está chegando perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os números racionais e irracionais estão misturados em qualquer intervalo ao redor de . Ou seja, não importa quão perto esteja de , sempre teremos valores racionais e irracionais.

Passo 3

Vamos tentar supor que o limite existe e seja igual a algum número . Isso significa que, para qualquer proximidade que a gente escolher próxima de , os valores de devem ficar cada vez mais próximos de .

Passo 4

Vamos analisar os dois casos:
  1. Quando é racional:
  2. Quando é irracional:
Isso significa que, dependendo se é racional ou irracional perto de , estará alternando entre 1 e -1.

Passo 5

Para o limite existir, os dois casos deveriam se aproximar do mesmo valor . Mas aqui:
  • Se é racional, se aproxima de 1.
  • Se é irracional, se aproxima de -1.
Como 1 e -1 são diferentes, não há um único valor que funcione para ambos os casos.

Passo 6

Portanto, não existe um único valor que satisfaça a condição do limite para todos os valores de próximos a .

Resposta

O limite de não existe para nenhum número real .

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