Ache todos os números reais que satisfazem a desigualdade. Dê o intervalo-solução e ilustre o intervalo sobre a reta numérica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para achar todos os números reais que satisfazem a desigualdade
. Vamos trabalhar com inequações racionais, que envolvem frações com variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver desigualdades e lidar com frações que têm incógnitas no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a desigualdade:
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
que tornam essa desigualdade verdadeira. Para isso, vamos isolar
.
Passo 3
Vamos começar subtraindo 1 de ambos os lados para deixar a desigualdade igualada a zero:
Passo 4
Para simplificar, precisamos ter um denominador comum. O denominador é
, então reescrevemos o 1 como
:
Passo 5
Agora, combinamos as frações:
Simplificando o numerador:
Passo 6
Agora temos a desigualdade
. Para resolver isso, analisamos quando a fração é negativa ou zero. Isso acontece quando o numerador e o denominador têm sinais opostos ou quando o numerador é zero.
Passo 7
Primeiro, encontramos onde o numerador e o denominador são iguais a zero:
- Numerador:
- Denominador:
Esses valores dividem a reta numérica em intervalos que iremos testar.
Passo 8
Vamos analisar os intervalos determinados por
e
:
Passo 9
Teste no intervalo
, por exemplo,
:
Verdadeiro.
Passo 10
Teste no intervalo
, por exemplo,
:
Falso.
Passo 11
Teste no intervalo
, por exemplo,
:
Verdadeiro.
Passo 12
Agora, consideramos os pontos onde a desigualdade pode ser igual a zero:
- Em
, a expressão é igual a zero. - Em
, a expressão não está definida (denominador zero).
Passo 13
Portanto, os valores de
que satisfazem a desigualdade são:
Resposta
Os números reais que satisfazem a desigualdade são todos
tais que
ou
. O intervalo-solução é:
E ilustrando na reta numérica:
<----|=====]----|=====>
-1 1