Ache todos os números reais que satisfazem a desigualdade. Dê o intervalo-solução e ilustre o intervalo sobre a reta numérica: 2/(1-x) <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para achar todos os números reais que satisfazem a desigualdade . Vamos trabalhar com inequações racionais, que envolvem frações com variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver desigualdades e lidar com frações que têm incógnitas no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a desigualdade: . Nosso objetivo é encontrar os valores de que tornam essa desigualdade verdadeira. Para isso, vamos isolar .

Passo 3

Vamos começar subtraindo 1 de ambos os lados para deixar a desigualdade igualada a zero:

Passo 4

Para simplificar, precisamos ter um denominador comum. O denominador é , então reescrevemos o 1 como :

Passo 5

Agora, combinamos as frações:
Simplificando o numerador:

Passo 6

Agora temos a desigualdade . Para resolver isso, analisamos quando a fração é negativa ou zero. Isso acontece quando o numerador e o denominador têm sinais opostos ou quando o numerador é zero.

Passo 7

Primeiro, encontramos onde o numerador e o denominador são iguais a zero:
  • Numerador:
  • Denominador:
Esses valores dividem a reta numérica em intervalos que iremos testar.

Passo 8

Vamos analisar os intervalos determinados por e :

Passo 9

Teste no intervalo , por exemplo, :
Verdadeiro.

Passo 10

Teste no intervalo , por exemplo, :
Falso.

Passo 11

Teste no intervalo , por exemplo, :
Verdadeiro.

Passo 12

Agora, consideramos os pontos onde a desigualdade pode ser igual a zero:
  • Em , a expressão é igual a zero.
  • Em , a expressão não está definida (denominador zero).

Passo 13

Portanto, os valores de que satisfazem a desigualdade são:

Resposta

Os números reais que satisfazem a desigualdade são todos tais que ou . O intervalo-solução é:
E ilustrando na reta numérica:
<----|=====]----|=====>
      -1     1

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