Ache todos os números reais que satisfazem a desigualdade. Dê o intervalo-solução e ilustre o intervalo sobre a reta numérica: 5/x < 3/4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Aqui, estamos lidando com uma desigualdade fracionária, que faz parte da matéria de álgebra, mais especificamente no estudo de inequações racionais. Para resolver isso, vamos precisar manipular a desigualdade para encontrar os valores de que a satisfazem, lembrando sempre de considerar os pontos onde a expressão pode não estar definida.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da desigualdade para facilitar a comparação. Subtraímos de ambos os lados:

Passo 3

Agora, vamos encontrar um denominador comum para combinar as frações. O denominador comum entre e é . Então, reescrevemos as frações com esse denominador:

Passo 4

Temos agora . Para resolver essa desigualdade, precisamos analisar onde o numerador e o denominador são positivos ou negativos, pois a fração será negativa quando um for positivo e o outro for negativo.

Passo 5

Vamos encontrar os valores que tornam o numerador e o denominador iguais a zero:
  • Numerador:
  • Denominador:
Esses valores dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar.

Passo 6

Os intervalos são:
Vamos verificar o sinal da fração em cada intervalo:
  • Intervalo 1 ( ):
    • Numerador: (positivo)
    • Denominador: (negativo)
    • Fração: Negativa
  • Intervalo 2 ( ):
    • Numerador: (positivo)
    • Denominador: (positivo)
    • Fração: Positiva
  • Intervalo 3 ( ):
    • Numerador: (negativo)
    • Denominador: (positivo)
    • Fração: Negativa

Passo 7

Estamos procurando onde a fração é menor que zero, ou seja, negativa. Observamos que isso acontece nos intervalos e . Porém, precisamos lembrar que não está definido na expressão original, então não faz parte da solução.

Resposta

A solução da desigualdade é .
Reta Numérica

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