Ache todos os valores de
para os quais a reta tangente à
é perpendicular à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem uma função
e queremos encontrar os valores de
onde a reta tangente a essa função é perpendicular à reta dada pela equação
.
Pra resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e relação de perpendicularidade entre duas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a inclinação da reta
. Para isso, vamos colocar essa equação na forma de
, onde
é a inclinação.
A gente tem:
Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo tudo por 4:
Então, a inclinação
dessa reta é
.
Passo 3
Agora, a gente sabe que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for
. Ou seja, se a inclinação da reta tangente for
, então:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Então, a inclinação da reta tangente que queremos é 4.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente à função
. A inclinação da reta tangente em qualquer ponto é dada pela derivada da função nesse ponto.
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Sabemos que queremos que essa inclinação seja igual a 4:
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro, vamos trazer tudo para o lado esquerdo:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Como
, temos duas soluções reais:
Então:
Resposta
Os valores de
para os quais a reta tangente à
é perpendicular à reta
são
e
.