Ache todos os valores de x para os quais a reta tangente à y = 2 x^3 - x^2 é perpendicular à reta x + 4y = 10.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem uma função e queremos encontrar os valores de onde a reta tangente a essa função é perpendicular à reta dada pela equação .
Pra resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e relação de perpendicularidade entre duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a inclinação da reta . Para isso, vamos colocar essa equação na forma de , onde é a inclinação.
A gente tem:
Subtraindo dos dois lados:
Dividindo tudo por 4:
Então, a inclinação dessa reta é .

Passo 3

Agora, a gente sabe que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for . Ou seja, se a inclinação da reta tangente for , então:
Substituindo :
Resolvendo para :
Então, a inclinação da reta tangente que queremos é 4.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente à função . A inclinação da reta tangente em qualquer ponto é dada pela derivada da função nesse ponto.
Vamos calcular a derivada de em relação a :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Sabemos que queremos que essa inclinação seja igual a 4:
Vamos resolver essa equação para . Primeiro, vamos trazer tudo para o lado esquerdo:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas soluções reais:
Então:

Resposta

Os valores de para os quais a reta tangente à é perpendicular à reta são e .

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