Descrever as superfícies de nível do campo escalar
:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente tem um campo escalar dado por
. O que queremos fazer é descrever as superfícies de nível desse campo. Superfícies de nível são aquelas onde o campo escalar assume um valor constante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de logaritmos e manipular equações para encontrar a forma dessas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que são superfícies de nível. Uma superfície de nível para o campo escalar
é o conjunto de pontos
onde
é igual a uma constante
. Ou seja, temos:
No nosso caso, isso fica:
Passo 3
Agora, para simplificar essa equação, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados. Lembrando que
, temos:
Vamos chamar
de
, onde
é uma constante positiva, já que
sempre é positivo. Então:
Passo 4
A equação
é conhecida como a equação de um hiperboloide de uma folha quando
. Isso porque, para cada valor de
, a equação descreve uma hipérbole no plano
. Além disso, como a equação não depende de
, isso significa que a superfície se estende ao longo do eixo
, formando um cilindro hiperbólico.
Passo 5
Vamos visualizar melhor: para cada valor fixo de
, temos um valor fixo de
, e a equação
representa uma hipérbole que não varia com
. Assim, as superfícies de nível são cilindros hiperbólicos que se estendem indefinidamente ao longo do eixo
.
Resposta
As superfícies de nível do campo escalar
são cilindros hiperbólicos definidos pela equação
, onde
é uma constante positiva.