Descrever as superfícies de nível do campo escalar phi: phi(x, y, z) = ln(x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente tem um campo escalar dado por . O que queremos fazer é descrever as superfícies de nível desse campo. Superfícies de nível são aquelas onde o campo escalar assume um valor constante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de logaritmos e manipular equações para encontrar a forma dessas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que são superfícies de nível. Uma superfície de nível para o campo escalar é o conjunto de pontos onde é igual a uma constante . Ou seja, temos:
No nosso caso, isso fica:

Passo 3

Agora, para simplificar essa equação, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados. Lembrando que , temos:
Vamos chamar de , onde é uma constante positiva, já que sempre é positivo. Então:

Passo 4

A equação é conhecida como a equação de um hiperboloide de uma folha quando . Isso porque, para cada valor de , a equação descreve uma hipérbole no plano . Além disso, como a equação não depende de , isso significa que a superfície se estende ao longo do eixo , formando um cilindro hiperbólico.

Passo 5

Vamos visualizar melhor: para cada valor fixo de , temos um valor fixo de , e a equação representa uma hipérbole que não varia com . Assim, as superfícies de nível são cilindros hiperbólicos que se estendem indefinidamente ao longo do eixo .

Resposta

As superfícies de nível do campo escalar são cilindros hiperbólicos definidos pela equação , onde é uma constante positiva.

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