Mostre que o gradiente do campo escalar
é
e interprete este resultado geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial! A gente precisa mostrar que o gradiente do campo escalar
é
e depois interpretar isso de uma forma geométrica. Para isso, vamos usar os conceitos de gradiente e normas de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar
, representado por
, é um vetor que aponta na direção de maior variação da função e cujo comprimento é a taxa de variação nessa direção. Ou seja, ele nos diz como a função muda no espaço.
Passo 3
Agora, vamos considerar a função
, onde
é a norma do vetor posição
. Em coordenadas cartesianas,
, então
.
Passo 4
Para encontrar o gradiente de
, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das coordenadas
,
e
.
Passo 5
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 6
De forma semelhante, as derivadas parciais em relação a
e
são:
Passo 7
Então, o gradiente
fica:
Ou seja, mostramos que:
Resposta
O gradiente do campo escalar
é
. Geometricamente, isso significa que o gradiente aponta na direção do vetor posição
e tem magnitude igual a 1, ou seja, é um vetor unitário que aponta radialmente para fora.