Mostre que o gradiente do campo escalar phi = r = ||r|| é r / r e interprete este resultado geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial! A gente precisa mostrar que o gradiente do campo escalar é e depois interpretar isso de uma forma geométrica. Para isso, vamos usar os conceitos de gradiente e normas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar , representado por , é um vetor que aponta na direção de maior variação da função e cujo comprimento é a taxa de variação nessa direção. Ou seja, ele nos diz como a função muda no espaço.

Passo 3

Agora, vamos considerar a função , onde é a norma do vetor posição . Em coordenadas cartesianas, , então .

Passo 4

Para encontrar o gradiente de , vamos calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das coordenadas , e .

Passo 5

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 6

De forma semelhante, as derivadas parciais em relação a e são:

Passo 7

Então, o gradiente fica:
Ou seja, mostramos que:

Resposta

O gradiente do campo escalar é . Geometricamente, isso significa que o gradiente aponta na direção do vetor posição e tem magnitude igual a 1, ou seja, é um vetor unitário que aponta radialmente para fora.

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