Calcule a derivada de :
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a derivada da função
. Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e derivados de funções trigonométricas e funções inversas. Para resolver, vamos precisar conhecer a regra do quociente e saber como derivar seno e arctangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra do quociente, que é usada quando temos uma função na forma de divisão de duas funções, ou seja,
. A fórmula da derivada é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
, a derivada de
. A derivada do seno é o cosseno, e aplicamos a regra da cadeia porque temos
dentro do seno. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, a derivada de
. A derivada da arctangente de
é
, e novamente usamos a regra da cadeia para
. Então:
Passo 5
Com
e
calculados, vamos aplicar a regra do quociente:
Passo 6
Podemos simplificar a expressão final colocando todos os termos juntos:
Resposta
A derivada da função é: