Calcule a derivada de : y = sen(3x) / arctg(4x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e derivados de funções trigonométricas e funções inversas. Para resolver, vamos precisar conhecer a regra do quociente e saber como derivar seno e arctangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra do quociente, que é usada quando temos uma função na forma de divisão de duas funções, ou seja, . A fórmula da derivada é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular , a derivada de . A derivada do seno é o cosseno, e aplicamos a regra da cadeia porque temos dentro do seno. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular , a derivada de . A derivada da arctangente de é , e novamente usamos a regra da cadeia para . Então:

Passo 5

Com e calculados, vamos aplicar a regra do quociente:

Passo 6

Podemos simplificar a expressão final colocando todos os termos juntos:

Resposta

A derivada da função é:

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