Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva
. Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons:
: o segmento de reta da origem ao ponto
; a seguir, o segmento de reta de
a
; daí o segmento de reta de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o trabalho total realizado por um campo de forças
sobre uma partícula que percorre um caminho
específico. O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial, mais especificamente o cálculo de integrais de linha para determinar trabalho. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar cada segmento do caminho
e calcular a integral de
ao longo desses segmentos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os segmentos que compõem o caminho
:
- Segmento 1: Da origem
ao ponto . - Segmento 2: Do ponto
ao ponto . - Segmento 3: Do ponto
ao ponto .
Vamos calcular o trabalho em cada segmento separadamente e depois somar tudo.
Passo 3
Segmento 1: Da origem
a
.
Nesse segmento, apenas o eixo
varia de 0 a 1, enquanto
e
são constantes em 0.
- Parametrização:
, onde varia de 0 a 1. - Derivada de
: .
Agora, substituímos na força
:
O trabalho
no Segmento 1 é:
Passo 4
Segmento 2: De
a
.
Aqui, apenas o eixo
varia de 0 a 1, enquanto
e
.
- Parametrização:
, onde varia de 0 a 1. - Derivada de
: .
Substituindo na força
:
O trabalho
no Segmento 2 é:
Passo 5
Segmento 3: De
a
.
Aqui, apenas o eixo
varia de 0 a 1, enquanto
e
.
- Parametrização:
, onde varia de 0 a 1. - Derivada de
: .
Substituindo na força
:
O trabalho
no Segmento 3 é:
Resposta
O trabalho total realizado pelo campo de forças ao longo do caminho
é: