Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva C. Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons: F(x, y, z) = (x y z + x) i + (x^2 z + y) j + (x^2 y + z) k ; C : o segmento de reta da origem ao ponto (1, 0, 0); a seguir, o segmento de reta de (1, 0, 0) a (1, 1, 0); daí o segmento de reta de (1, 0, 0) a (1, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o trabalho total realizado por um campo de forças sobre uma partícula que percorre um caminho específico. O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial, mais especificamente o cálculo de integrais de linha para determinar trabalho. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar cada segmento do caminho e calcular a integral de ao longo desses segmentos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os segmentos que compõem o caminho :
  1. Segmento 1: Da origem ao ponto .
  2. Segmento 2: Do ponto ao ponto .
  3. Segmento 3: Do ponto ao ponto .
Vamos calcular o trabalho em cada segmento separadamente e depois somar tudo.

Passo 3

Segmento 1: Da origem a .
Nesse segmento, apenas o eixo varia de 0 a 1, enquanto e são constantes em 0.
  • Parametrização: , onde varia de 0 a 1.
  • Derivada de : .
Agora, substituímos na força :
O trabalho no Segmento 1 é:

Passo 4

Segmento 2: De a .
Aqui, apenas o eixo varia de 0 a 1, enquanto e .
  • Parametrização: , onde varia de 0 a 1.
  • Derivada de : .
Substituindo na força :
O trabalho no Segmento 2 é:

Passo 5

Segmento 3: De a .
Aqui, apenas o eixo varia de 0 a 1, enquanto e .
  • Parametrização: , onde varia de 0 a 1.
  • Derivada de : .
Substituindo na força :
O trabalho no Segmento 3 é:

Resposta

O trabalho total realizado pelo campo de forças ao longo do caminho é:

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