Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A pergunta quer que a gente encontre a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de derivadas parciais para encontrar as inclinações do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se o ponto
realmente está na superfície. Substituindo
e
na equação da superfície:
Então, o ponto está correto na superfície.
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
. Essas derivadas nos dão as inclinações do plano nas direções de
e
.
Primeiro, calculemos a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Então:
Esses valores representam as inclinações do plano tangente nas direções de
e
.
Passo 5
Com as derivadas parciais, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Onde:
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é: