Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. z = ln(2x + y) no ponto -1,3,0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A pergunta quer que a gente encontre a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de derivadas parciais para encontrar as inclinações do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se o ponto realmente está na superfície. Substituindo e na equação da superfície:
Então, o ponto está correto na superfície.

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos dão as inclinações do plano nas direções de e .
Primeiro, calculemos a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Então:
Esses valores representam as inclinações do plano tangente nas direções de e .

Passo 5

Com as derivadas parciais, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Onde:

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

Exercícios relacionados