Use a regra da cadeia para determinar d/z dt ou d w / d t. z = x ln x + 2 y, x = sen t, y = cos t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a regra da cadeia para determinar a derivada de em relação a . A função que vamos trabalhar é:
com
Então, vamos precisar saber como derivar funções compostas usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que dependem de . Tanto quanto são funções de , então quando derivamos , vamos usar a regra da cadeia:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. Derivada de em relação a :
  • Explicação: A derivada de é e a derivada de em relação a é 0, já que não depende de .
  1. Derivada de em relação a :
  • Explicação: A derivada de é 2 e a derivada de em relação a é 0, pois não depende de .

Passo 4

Agora, vamos derivar e em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 5

Com todas essas derivadas, vamos substituir na fórmula da regra da cadeia:

Passo 6

Lembrando que , podemos substituir de volta:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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