Ache as trajetórias ortogonais da família de elipses
e esboce alguns membros de cada família.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar as trajetórias ortogonais da família de elipses dada por
. A matéria que vamos usar aqui é de equações diferenciais e especificamente o conceito de trajetórias ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar encontrar uma equação que descreva as curvas que cortam as elipses em ângulo reto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a família de elipses
. Aqui,
é uma constante que determina diferentes elipses. Para achar as trajetórias ortogonais, precisamos encontrar a inclinação das elipses e então determinar a inclinação das curvas que serão perpendiculares a elas.
Passo 3
Vamos derivar a equação das elipses para encontrar a inclinação da tangente em cada ponto. Derivando
em relação a
, temos:
Resolvendo para
:
Essa é a inclinação da tangente às elipses.
Passo 4
As trajetórias ortogonais devem ter inclinações que sejam as negativas do inverso das inclinações das elipses. Ou seja, se
das elipses é
, então para as trajetórias ortogonais vai ser:
Agora, temos uma equação diferencial que descreve as trajetórias ortogonais.
Passo 5
Vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
de cada lado:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos simplificar a equação usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma nova constante.
Passo 7
Então, as trajetórias ortogonais à família de elipses
são curvas da forma
. Isso significa que qualquer curva cúbica da forma
, onde
é uma constante, cortará as elipses em ângulos retos.
Resposta
As trajetórias ortogonais são curvas cúbicas dadas por
, onde
é uma constante.
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(i)
(i)
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para um gás que obedece a equação de van der Waals: