Ache as trajetórias ortogonais da família de elipses x^2 + 3 y^2 = C e esboce alguns membros de cada família.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar as trajetórias ortogonais da família de elipses dada por . A matéria que vamos usar aqui é de equações diferenciais e especificamente o conceito de trajetórias ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar encontrar uma equação que descreva as curvas que cortam as elipses em ângulo reto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a família de elipses . Aqui, é uma constante que determina diferentes elipses. Para achar as trajetórias ortogonais, precisamos encontrar a inclinação das elipses e então determinar a inclinação das curvas que serão perpendiculares a elas.

Passo 3

Vamos derivar a equação das elipses para encontrar a inclinação da tangente em cada ponto. Derivando em relação a , temos:
Resolvendo para :
Essa é a inclinação da tangente às elipses.

Passo 4

As trajetórias ortogonais devem ter inclinações que sejam as negativas do inverso das inclinações das elipses. Ou seja, se das elipses é , então para as trajetórias ortogonais vai ser:
Agora, temos uma equação diferencial que descreve as trajetórias ortogonais.

Passo 5

Vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis e de cada lado:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos simplificar a equação usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante.

Passo 7

Então, as trajetórias ortogonais à família de elipses são curvas da forma . Isso significa que qualquer curva cúbica da forma , onde é uma constante, cortará as elipses em ângulos retos.

Resposta

As trajetórias ortogonais são curvas cúbicas dadas por , onde é uma constante.

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