Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3)]
(i) a_n = n^2 / raiz(n^3 + 4n)

Passo 1

Vamos analisar a sequência . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e propriedades de funções com potências e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador têm termos com , então podemos fatorar a maior potência de presente no denominador, que é .

Passo 3

Fatorando dentro da raiz no denominador:

Passo 4

Simplificando os termos com :
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de cada fator quando tende ao infinito:
  • cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito.
  • tende a .

Passo 6

Multiplicando os limites dos fatores:

Resposta

A sequência diverge para o infinito.

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