Ache uma transformação linear T: R^3 R^2 cujo núcleo seja gerado pelo vetor (1,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar uma transformação linear cuja núcleo é gerado pelo vetor . Isso significa que queremos que todos os múltiplos desse vetor sejam mapeados para o vetor zero na transformação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como núcleo de uma transformação linear e matrizes que representam essas transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear Ker(T) = v in R^3 mid T(v) = 0 (ou seja, ) é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero em :
No nosso caso, queremos que o núcleo seja gerado pelo vetor , ou seja, todos os vetores do tipo para algum escalar .

Passo 3

Para encontrar a transformação T(x) = Ax , podemos representá-la por uma matriz de tamanho (já que ). Assim, temos:
Onde e é uma matriz que precisamos determinar.

Passo 4

Sabemos que se A 1 1 0 = 0 0 está no núcleo de a11(1) + a12(1) + a13(0) = 0 a21(1) + a22(1) + a23(0) = 0 , então:
a11 + a12 = 0 a21 + a22 = 0
Isso implica que:
Simplificando, temos:
Ou seja, e .

Passo 5

Podemos escolher valores simples para os outros elementos da matriz A = 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 para facilitar. Por exemplo, podemos definir:
T(x, y, z) = 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 x y z = x - y z
Assim, a transformação fica:

Resposta

Uma transformação linear que satisfaz a condição é x - y z .

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