Ache uma transformação linear cujo núcleo seja gerado pelo vetor .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar uma transformação linear cuja núcleo é gerado pelo vetor . Isso significa que queremos que todos os múltiplos desse vetor sejam mapeados para o vetor zero na transformação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como núcleo de uma transformação linear e matrizes que representam essas transformações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear (ou seja, ) é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero em :
No nosso caso, queremos que o núcleo seja gerado pelo vetor , ou seja, todos os vetores do tipo para algum escalar .
Passo 3
Para encontrar a transformação , podemos representá-la por uma matriz de tamanho (já que ). Assim, temos:
Onde e é uma matriz que precisamos determinar.
Passo 4
Sabemos que se está no núcleo de , então:
Isso implica que:
Simplificando, temos:
Ou seja, e .
Passo 5
Podemos escolher valores simples para os outros elementos da matriz para facilitar. Por exemplo, podemos definir:
Assim, a transformação fica:
Resposta
Uma transformação linear que satisfaz a condição é .