Mostre que |u times v|^2=|u|^2|v|^2-(u cdot v)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o quadrado da norma do produto vetorial entre dois vetores u e v é igual ao produto das normas desses vetores ao quadrado menos o quadrado do produto escalar entre eles. Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial, produto escalar e normas de vetores. Vamos precisar lembrar das definições dessas operações para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor a, denotada por |a|, é dada por:
|a| = raiza cdot a
Então, o quadrado da norma é simplesmente:
|a|^2 = a cdot a

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto vetorial u times v. A norma desse produto vetorial é dada por:
|u times v| = |u| |v| sin theta
onde theta é o ângulo entre os vetores u e v. Elevando ao quadrado, temos:
|u times v|^2 = |u|^2 |v|^2 sin^2 theta

Passo 4

Também sabemos que o produto escalar entre u e v é:
u cdot v = |u| |v| cos theta
Elevando ao quadrado:
(u cdot v)^2 = |u|^2 |v|^2 cos^2 theta

Passo 5

Agora, vamos usar a identidade trigonométrica básica:
sin^2 theta + cos^2 theta = 1
Isolando sin^2 theta:
sin^2 theta = 1 - cos^2 theta

Passo 6

Substituindo a expressão de sin^2 theta na equação do passo 3:
|u times v|^2 = |u|^2 |v|^2 (1 - cos^2 theta)
|u times v|^2 = |u|^2 |v|^2 - |u|^2 |v|^2 cos^2 theta

Passo 7

Observando a expressão do passo 4, vemos que:
|u|^2 |v|^2 cos^2 theta = (u cdot v)^2
Substituindo na equação anterior:
|u times v|^2 = |u|^2 |v|^2 - (u cdot v)^2

Resposta

Mostramos que |u times v|^2 = |u|^2 |v|^2 - (u cdot v)^2.

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