Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o quadrado da norma do produto vetorial entre dois vetores e é igual ao produto das normas desses vetores ao quadrado menos o quadrado do produto escalar entre eles. Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial, produto escalar e normas de vetores. Vamos precisar lembrar das definições dessas operações para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor , denotada por , é dada por:
Então, o quadrado da norma é simplesmente:

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto vetorial . A norma desse produto vetorial é dada por:
onde é o ângulo entre os vetores e . Elevando ao quadrado, temos:

Passo 4

Também sabemos que o produto escalar entre e é:
Elevando ao quadrado:

Passo 5

Agora, vamos usar a identidade trigonométrica básica:
Isolando :

Passo 6

Substituindo a expressão de na equação do passo 3:

Passo 7

Observando a expressão do passo 4, vemos que:
Substituindo na equação anterior:

Resposta

Mostramos que .

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prove que .
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