Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o quadrado da norma do produto vetorial entre dois vetores
e
é igual ao produto das normas desses vetores ao quadrado menos o quadrado do produto escalar entre eles. Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial, produto escalar e normas de vetores. Vamos precisar lembrar das definições dessas operações para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
, denotada por
, é dada por:
Então, o quadrado da norma é simplesmente:
Passo 3
Agora, vamos considerar o produto vetorial
. A norma desse produto vetorial é dada por:
onde
é o ângulo entre os vetores
e
. Elevando ao quadrado, temos:
Passo 4
Também sabemos que o produto escalar entre
e
é:
Elevando ao quadrado:
Passo 5
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica básica:
Isolando
:
Passo 6
Substituindo a expressão de
na equação do passo 3:
Passo 7
Observando a expressão do passo 4, vemos que:
Substituindo na equação anterior:
Resposta
Mostramos que
.