Usando a definição de duplo produto vetorial dada por
prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar uma identidade envolvendo produtos vetoriais. O enunciado nos dá uma fórmula para o duplo produto vetorial:
O que precisamos fazer é usar essa definição para mostrar que a soma de três duplos produtos vetoriais é igual ao vetor nulo:
Vamos precisar entender o que é produto vetorial, produto escalar e como aplicar a definição dada para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a definição do duplo produto vetorial a cada um dos termos da soma. Vamos começar com o primeiro termo:
Isso significa que ao fazer o duplo produto, estamos combinando produtos escalares (
e
) com os vetores
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a mesma definição aos outros dois termos da soma:
Para
:
E para
:
Passo 4
Agora, vamos somar os três resultados que obtivemos:
Passo 5
Vamos reorganizar os termos para agrupar vetores semelhantes:
Passo 6
Observamos que
e
e também
porque o produto escalar é comutativo. Portanto:
Passo 7
Simplificando cada grupo:
Resposta
Portanto, mostramos que
Exercícios relacionados
Sendo
uma base ortonormal positiva, calcule
. Resp:
Demonstre as relações
(a) .
(b) .
(a)
(b)
Ache uma transformação linear
cujo núcleo seja gerado pelo vetor
.
Mostre que