Usando a definição de duplo produto vetorial dada por
(u times v) times w=-(v cdot w) u+(u cdot w) v,
prove que (u times v) times w+(v times w) times u+(w times u) times v=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar uma identidade envolvendo produtos vetoriais. O enunciado nos dá uma fórmula para o duplo produto vetorial:
(u times v) times w = -(v cdot w) u + (u cdot w) v
O que precisamos fazer é usar essa definição para mostrar que a soma de três duplos produtos vetoriais é igual ao vetor nulo:
(u times v) times w + (v times w) times u + (w times u) times v = 0
Vamos precisar entender o que é produto vetorial, produto escalar e como aplicar a definição dada para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a definição do duplo produto vetorial a cada um dos termos da soma. Vamos começar com o primeiro termo:
(u times v) times w = -(v cdot w) u + (u cdot w) v
Isso significa que ao fazer o duplo produto, estamos combinando produtos escalares ( e ) com os vetores e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a mesma definição aos outros dois termos da soma:
Para (v times w) times u = -(w cdot u) v + (v cdot u) w :
(w times u) times v = -(u cdot v) w + (w cdot v) u
E para :

Passo 4

Agora, vamos somar os três resultados que obtivemos:
& -(v cdot w) u + (u cdot w) v & + [ -(w cdot u) v + (v cdot u) w ] & + [ -(u cdot v) w + (w cdot v) u ]

Passo 5

Vamos reorganizar os termos para agrupar vetores semelhantes:
& [ -(v cdot w) u + (w cdot v) u ] & + [ (u cdot w) v - (w cdot u) v ] & + [ (v cdot u) w - (u cdot v) w ]

Passo 6

Observamos que & [ -(v cdot w) u + (v cdot w) u ] & + [ (u cdot w) v - (u cdot w) v ] & + [ (v cdot u) w - (v cdot u) w ] e e também porque o produto escalar é comutativo. Portanto:

Passo 7

Simplificando cada grupo:
& 0 u + 0 v + 0 w = 0

Resposta

Portanto, mostramos que
(u times v) times w + (v times w) times u + (w times u) times v = 0

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