Usando a definição de duplo produto vetorial dada por
prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar uma identidade envolvendo produtos vetoriais. O enunciado nos dá uma fórmula para o duplo produto vetorial:
O que precisamos fazer é usar essa definição para mostrar que a soma de três duplos produtos vetoriais é igual ao vetor nulo:
Vamos precisar entender o que é produto vetorial, produto escalar e como aplicar a definição dada para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a definição do duplo produto vetorial a cada um dos termos da soma. Vamos começar com o primeiro termo:
Isso significa que ao fazer o duplo produto, estamos combinando produtos escalares ( e ) com os vetores e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a mesma definição aos outros dois termos da soma:
Para :
E para :

Passo 4

Agora, vamos somar os três resultados que obtivemos:

Passo 5

Vamos reorganizar os termos para agrupar vetores semelhantes:

Passo 6

Observamos que e e também porque o produto escalar é comutativo. Portanto:

Passo 7

Simplificando cada grupo:

Resposta

Portanto, mostramos que

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Sendo uma base ortonormal positiva, calcule . Resp:
Demonstre as relações
(a) .
(b) .
Ache uma transformação linear cujo núcleo seja gerado pelo vetor .
Mostre que