Determine uma equação da reta que passa pelo ponto , é concorrente com a reta :
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Queremos encontrar a equação de uma reta que:
Passa pelo ponto .
É concorrente com a reta dada por:onde .
Forma ângulos iguais com os eixos e .
Vamos usar conceitos de Geometria Analítica para resolver isso, especialmente as equações de retas no espaço e como calcular direções que formam ângulos iguais com os eixos.
Passo 2
Primeiro, entender o que significa que duas retas são concorrentes. Duas retas são concorrentes se elas se cruzam, ou seja, se existe um ponto que pertence a ambas.
Vamos analisar a reta . A equação paramétrica dela é dada por:
Isso significa que o vetor direcional da reta é .
Para encontrar a reta que passa por e é concorrente com , precisamos que exista um ponto comum entre as duas retas. Então, vamos chamar nossa reta procurada de , que passa por e tem um vetor direcional que forma ângulos iguais com os eixos e .
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor direcional que forma ângulos iguais com os eixos e . Quando uma reta forma ângulos iguais com dois eixos, os componentes correspondentes do vetor direcional são iguais.
Então, podemos dizer que , onde é igual para e , e é o componente em .
Mas precisamos que essa reta seja concorrente com . Então, vamos igualar as equações das duas retas para encontrar os valores de e .
Igualando as componentes:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de e que garantem a intersecção das retas.
Passo 4
Resolvendo o sistema de equações:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, da segunda equação:
Como , substituímos:
Agora, substituindo na terceira equação:
Portanto, encontramos que .
Resposta
A equação da reta que passa pelo ponto , é concorrente com a reta , e forma ângulos iguais com os eixos e é: