Determine uma equação da reta que passa pelo ponto , é concorrente com a reta :
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Queremos encontrar a equação de uma reta que:
Passa pelo ponto x = 2 + t y = 0 + 3t z = 0 + t .
É concorrente com a reta dada por:onde .
Forma ângulos iguais com os eixos e .
Vamos usar conceitos de Geometria Analítica para resolver isso, especialmente as equações de retas no espaço e como calcular direções que formam ângulos iguais com os eixos.
Passo 2
Primeiro, entender o que significa que duas retas são concorrentes. Duas retas são concorrentes se elas se cruzam, ou seja, se existe um ponto que pertence a ambas.
Vamos analisar a reta rs(t) = 2 0 0 + t 1 3 1 . A equação paramétrica dela é dada por:
Isso significa que o vetor direcional da reta é .
Para encontrar a reta que passa por e é concorrente com , precisamos que exista um ponto comum entre as duas retas. Então, vamos chamar nossa reta procurada de , que passa por e tem um vetor direcional que forma ângulos iguais com os eixos e .
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor direcional 2 + a t = 2 + t' 1 + a t = 0 + 3t' 0 + c t = 0 + t' que forma ângulos iguais com os eixos e . Quando uma reta forma ângulos iguais com dois eixos, os componentes correspondentes do vetor direcional são iguais.
Então, podemos dizer que , onde é igual para e , e é o componente em .
Mas precisamos que essa reta seja concorrente com . Então, vamos igualar as equações das duas retas para encontrar os valores de e .
Igualando as componentes:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de e que garantem a intersecção das retas.
Passo 4
Resolvendo o sistema de equações:
Da terceira equação:
c t = t' Rightarrow t' = c t
Substituindo 2 + a t = 2 + c t Rightarrow a t = c t Rightarrow a = c na primeira equação:
1 + a t = 3 c t
Agora, da segunda equação:
1 + a t = 3 a t Rightarrow 1 = 2 a t Rightarrow t = 12a
Como t' = a t = a cdot 12a = 12 , substituímos:
Agora, substituindo na terceira equação:
Portanto, encontramos que .
Resposta
A equação da reta que passa pelo ponto boxed x = 2 + t y = 1 + t z = 0 + t , é concorrente com a reta , e forma ângulos iguais com os eixos e é: