Determine uma equação da reta que passa pelo ponto , é concorrente com a reta : â

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Queremos encontrar a equação de uma reta que:
  1. Passa pelo ponto .
  2. É concorrente com a reta dada por: onde .
  3. Forma ângulos iguais com os eixos e .
Vamos usar conceitos de Geometria Analítica para resolver isso, especialmente as equações de retas no espaço e como calcular direções que formam ângulos iguais com os eixos.

Passo 2

Primeiro, entender o que significa que duas retas são concorrentes. Duas retas são concorrentes se elas se cruzam, ou seja, se existe um ponto que pertence a ambas.
Vamos analisar a reta . A equação paramétrica dela é dada por:
Isso significa que o vetor direcional da reta é .
Para encontrar a reta que passa por e é concorrente com , precisamos que exista um ponto comum entre as duas retas. Então, vamos chamar nossa reta procurada de , que passa por e tem um vetor direcional que forma ângulos iguais com os eixos e .

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor direcional que forma ângulos iguais com os eixos e . Quando uma reta forma ângulos iguais com dois eixos, os componentes correspondentes do vetor direcional são iguais.
Então, podemos dizer que , onde é igual para e , e é o componente em .
Mas precisamos que essa reta seja concorrente com . Então, vamos igualar as equações das duas retas para encontrar os valores de e .
Igualando as componentes:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de e que garantem a intersecção das retas.

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, da segunda equação:
Como , substituímos:
Agora, substituindo na terceira equação:
Portanto, encontramos que .

Resposta

A equação da reta que passa pelo ponto , é concorrente com a reta , e forma ângulos iguais com os eixos e é:

Exercícios relacionados

Mostre que
Ache uma transformação linear cujo núcleo seja gerado pelo vetor .
Determine as equações da reta definida pelos pontos e , com e .
Estabeleça as equações simétricas da reta , traçada pelo ponto , que seja concorrente com a reta e seja ortogonal ao vetor .