Ache a transformada de Fourier da função f(x)=e^-|x|,-infty para deduzir que:
integral0^infty d kk^2+1=pi2 e integral0^infty k sin k xk^2+1 d k=pi2 e^-x, x>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Fourier da função para, a partir disso, deduzir duas integrais específicas. Aqui, vamos trabalhar com Transformadas de Fourier e Cálculo de Integrais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a transformada de Fourier de uma função e depois aplicar esse resultado para obter as integrais pedidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Fourier. Basicamente, a transformada de Fourier é uma ferramenta que transforma uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula da transformada de Fourier para uma função Ff(x)(k) = integral-infty^infty f(x) e^-ikx dx é dada por:
Aqui, representa a frequência.

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Fourier da função Fe^-|x|(k) = integral-infty^infty e^-|x| e^-ikx dx . Substituindo na fórmula:
= 2 integral0^infty e^-x cos(kx) dx
Como 2 integral0^infty e^-x cos(kx) dx = 21 + k^2 é uma função par (ou seja, simétrica em relação ao eixo y), podemos simplificar a integral considerando apenas Fe^-|x|(k) = 21 + k^2 e multiplicando por 2:
Aqui, utilizamos a propriedade que e, por simetria, a parte ímpar com se anula.
Agora, vamos resolver a integral:
Portanto, a transformada de Fourier de é:

Passo 4

Com a transformada de Fourier em mãos, agora vamos deduzir as integrais pedidas.
Primeiro, observe que a transformada de Fourier que obtivemos pode ser rearranjada para nos ajudar com a primeira integral:
21 + k^2 = Fe^-|x|(k)
Para encontrar:
integral0^infty dkk^2+1
Podemos reconhecer que essa integral está relacionada à integral da função integral0^infty dkk^2+1 = pi2 de 0 a infinito. Sabemos que:
integral0^infty k sin(kx)k^2+1 dk
Agora, para a segunda integral:
integral0^infty k sin(kx)k^2+1 dk = pi2 e^-x, x > 0
Usando a transformada de Fourier inversa e as propriedades das funções pares e ímpares, podemos concluir que:

Resposta

Portanto, as integrais são:
integral0^infty dkk^2+1 = pi2 e integral0^infty k sin(kx)k^2+1 dk = pi2 e^-x, x > 0

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