Ache a transformada de Fourier da função para deduzir que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Fourier da função para, a partir disso, deduzir duas integrais específicas. Aqui, vamos trabalhar com Transformadas de Fourier e Cálculo de Integrais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a transformada de Fourier de uma função e depois aplicar esse resultado para obter as integrais pedidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Fourier. Basicamente, a transformada de Fourier é uma ferramenta que transforma uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula da transformada de Fourier para uma função é dada por:
Aqui, representa a frequência.

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Fourier da função . Substituindo na fórmula:
Como é uma função par (ou seja, simétrica em relação ao eixo y), podemos simplificar a integral considerando apenas e multiplicando por 2:
Aqui, utilizamos a propriedade que e, por simetria, a parte ímpar com se anula.
Agora, vamos resolver a integral:
Portanto, a transformada de Fourier de é:

Passo 4

Com a transformada de Fourier em mãos, agora vamos deduzir as integrais pedidas.
Primeiro, observe que a transformada de Fourier que obtivemos pode ser rearranjada para nos ajudar com a primeira integral:
Para encontrar:
Podemos reconhecer que essa integral está relacionada à integral da função de 0 a infinito. Sabemos que:
Agora, para a segunda integral:
Usando a transformada de Fourier inversa e as propriedades das funções pares e ímpares, podemos concluir que:

Resposta

Portanto, as integrais são:

Exercícios relacionados

A que elevação acima do horizonte a lua deve estar para que sua imagem refletida em águas calmas esteja completamente polarizada? (solução: )
Um feixe de luz incide na superfície plana de um vidro de silicato a um ângulo de incidência de . O índice de refração do vidro varia com o comprimento de onda (figura). Quão menor é o ângulo de refração para a luz violeta de comprimento de onda 400 nm em relação ao ângulo de refração para a luz vermelha de comprimento de onda 700 nm ? Calcule a diferença para o Vidro flint de silicato e o vidro crown de silicato.
Usando a formula de Parseval, evalue a integral .
Um próton (massa ) está sendo acelerado em linha reta a em um acelerador de partículas.
Se o próton tem uma velocidade inicial de e se desloca , determine (a) a sua velocidade e (b) o aumento em sua energia cinética.