Usando a formula de Parseval, evalue a integral
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a fórmula de Parseval para calcular a integral
. Isso envolve transformadas de Fourier e a própria identidade de Parseval. Vamos precisar entender esses conceitos e ver como aplicá-los para resolver a integral proposta.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a Transformada de Fourier. Basicamente, ela transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. Matemáticamente, a transformada de Fourier de uma função
é dada por:
Aqui,
é a transformada de
.
Passo 3
Agora, vamos à Identidade de Parseval. Essa identidade nos diz que a energia total de uma função no domínio original é igual à energia no domínio transformado. Em termos matemáticos:
Isso significa que podemos calcular a integral de
transformando-a para o domínio de
.
Passo 4
No nosso caso, queremos calcular
. Observe que
pode ser visto como
, onde
.
Para aplicar a fórmula de Parseval, precisamos primeiro encontrar a transformada de Fourier de
. Sabemos que:
Onde a função retângulo é definida como:
Passo 5
Agora, aplicando a Identidade de Parseval, temos:
Sabemos que
é a função retângulo multiplicada por
, então:
Passo 6
Calculando a integral de
:
Então, pela identidade de Parseval:
Passo 7
Mas nosso objetivo é calcular
. Para isso, podemos usar uma propriedade de funções pares e expandir a expressão:
Aplicando a convolução no domínio de Fourier, sabemos que isso corresponde a multiplicar as transformadas de Fourier das duas funções.
Passo 8
Considerando que já calculamos
, a integral original pode ser avaliada como:
Resposta
A integral
vale
.