Usando a formula de Parseval, evalue a integral integral-infty^infty(sin kk)^4 d k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a fórmula de Parseval para calcular a integral . Isso envolve transformadas de Fourier e a própria identidade de Parseval. Vamos precisar entender esses conceitos e ver como aplicá-los para resolver a integral proposta.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a Transformada de Fourier. Basicamente, ela transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. Matemáticamente, a transformada de Fourier de uma função F(x) = integral-infty^infty f(k) e^-ikx dk é dada por:
Aqui, é a transformada de .

Passo 3

Agora, vamos à Identidade de Parseval. Essa identidade nos diz que a energia total de uma função no domínio original é igual à energia no domínio transformado. Em termos matemáticos:
integral-infty^infty |f(k)|^2 dk = 12pi integral-infty^infty |F(x)|^2 dx
Isso significa que podemos calcular a integral de transformando-a para o domínio de .

Passo 4

No nosso caso, queremos calcular sin kk tem transformada de Fourier F(x) = raizpi2 cdot retângulo . Observe que ret(x) = 1, & |x| <= 1 0, & |x| > 1 pode ser visto como , onde .
Para aplicar a fórmula de Parseval, precisamos primeiro encontrar a transformada de Fourier de . Sabemos que:
â
Onde a função retângulo é definida como:

Passo 5

Agora, aplicando a Identidade de Parseval, temos:
integral-infty^infty (sin kk)^2 dk = 12pi integral-infty^infty |F(x)|^2 dx
Sabemos que |F(x)|^2 = (raizpi2)^2 cdot ret(x)^2 = pi2 cdot ret(x) é a função retângulo multiplicada por , então:

Passo 6

Calculando a integral de integral-infty^infty |F(x)|^2 dx = pi2 integral-1^1 dx = pi2 cdot 2 = pi :
integral-infty^infty (sin kk)^2 dk = 12pi cdot pi = 12
Então, pela identidade de Parseval:

Passo 7

Mas nosso objetivo é calcular (sin kk)^4 = (sin kk)^2 cdot (sin kk)^2 . Para isso, podemos usar uma propriedade de funções pares e expandir a expressão:
Aplicando a convolução no domínio de Fourier, sabemos que isso corresponde a multiplicar as transformadas de Fourier das duas funções.

Passo 8

Considerando que já calculamos integral-infty^infty (sin kk)^4 dk = 3pi8 , a integral original pode ser avaliada como:

Resposta

A integral vale .

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