Ache a transformada inversa de:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão de encontrar a transformada inversa de
. Aqui, estamos lidando com a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa na resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o polinômio do denominador
. A ideia é encontrar raízes desse polinômio para poder quebrá-lo em fatores menores.
Passo 3
Vamos testar possíveis raízes racionais. Testando
:
Então,
é uma raiz, e conseguimos fatorar
.
Passo 4
Dividindo o polinômio original por
, obtemos:
Passo 5
Agora, vamos fatorar
:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 6
Com o denominador fatorado, podemos decompor
em frações parciais:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 8
Para encontrar os valores de
,
e
, substituímos valores de
que simplificam a equação:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 9
Agora, substituímos os valores encontrados de
,
e
de volta nas frações parciais:
Passo 10
Sabemos que a transformada inversa de
é
. Aplicando isso a cada termo:
Resposta
Portanto, a transformada inversa é: