Ache a transformada inversa de:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação. A gente quer achar a transformada inversa de
. Vamos usar o conteúdo de Transformada de Laplace, especificamente a transformada inversa para funções racionais. Precisamos simplificar cada termo e aplicar as fórmulas certas para descobrir a função no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos separar
em duas partes:
e
. Vamos tratar cada uma separadamente.
Passo 3
Começamos com
. Sabemos que a transformada inversa de
é
. Aqui,
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula, temos:
Passo 5
Agora, vamos tratar da segunda parte:
. Primeiro, vamos fatorar o denominador.
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática
, encontramos as raízes:
Então,
e
.
Passo 7
Com as raízes, podemos fatorar o denominador:
Passo 8
Agora, podemos usar frações parciais para decompor
:
Passo 9
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Agora, vamos encontrar os valores de
e
.
Passo 10
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Passo 11
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 12
Agora, aplicando a transformada inversa a cada termo:
Passo 13
Portanto, a transformada inversa de
é:
Resposta
A transformada inversa de
é:
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