Ache a transformada inversa de:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação. A gente quer achar a transformada inversa de . Vamos usar o conteúdo de Transformada de Laplace, especificamente a transformada inversa para funções racionais. Precisamos simplificar cada termo e aplicar as fórmulas certas para descobrir a função no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar em duas partes: e . Vamos tratar cada uma separadamente.

Passo 3

Começamos com . Sabemos que a transformada inversa de é . Aqui, e .

Passo 4

Aplicando a fórmula, temos:

Passo 5

Agora, vamos tratar da segunda parte: . Primeiro, vamos fatorar o denominador.

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática , encontramos as raízes:
Então, e .

Passo 7

Com as raízes, podemos fatorar o denominador:

Passo 8

Agora, podemos usar frações parciais para decompor :

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Agora, vamos encontrar os valores de e .

Passo 10

Escolhendo :
Escolhendo :

Passo 11

Então, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 12

Agora, aplicando a transformada inversa a cada termo:

Passo 13

Portanto, a transformada inversa de é:

Resposta

A transformada inversa de é:

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