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Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a transformada inversa de Laplace de . A transformada inversa de Laplace nos ajuda a voltar do domínio da frequência para o domínio do tempo . Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais, que é uma técnica para simplificar frações complexas em termos mais simples que podemos transformar facilmente de volta para o domínio do tempo.

Passo 2

O primeiro passo para encontrar a transformada inversa é decompor em frações parciais. Isso significa que vamos escrever como a soma de termos mais simples. Sabemos que o denominador pode ser quebrado em fatores lineares e quadráticos, então nosso objetivo é expressar na forma:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, expandemos e simplificamos o lado direito para igualar os coeficientes dos termos correspondentes em no lado esquerdo.

Passo 4

Para simplificar, podemos escolher valores específicos de que facilitam a resolução. Vamos começar com :
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos escolher para simplificar outro termo:
Isso simplifica para:

Passo 6

Para encontrar os demais coeficientes ( ), podemos expandir o lado direito da equação e igualar os coeficientes dos termos correspondentes de . No entanto, para simplificar, vamos derivar ambos os lados em relação a e então substituir para encontrar .
Depois de realizar essa operação, encontramos que .

Passo 7

Continuando o processo, com os valores de e encontrados, podemos substituir esses valores na equação original e resolver para e . Após simplificar, descobrimos que:

Resposta

A transformada inversa de é:

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