Ache a transformada inversa de:
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a transformada inversa de Laplace de
. A transformada inversa de Laplace nos ajuda a voltar do domínio da frequência
para o domínio do tempo
. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais, que é uma técnica para simplificar frações complexas em termos mais simples que podemos transformar facilmente de volta para o domínio do tempo.
Passo 2
O primeiro passo para encontrar a transformada inversa é decompor
em frações parciais. Isso significa que vamos escrever
como a soma de termos mais simples. Sabemos que o denominador
pode ser quebrado em fatores lineares e quadráticos, então nosso objetivo é expressar
na forma:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandemos e simplificamos o lado direito para igualar os coeficientes dos termos correspondentes em
no lado esquerdo.
Passo 4
Para simplificar, podemos escolher valores específicos de
que facilitam a resolução. Vamos começar com
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos escolher
para simplificar outro termo:
Isso simplifica para:
Passo 6
Para encontrar os demais coeficientes (
), podemos expandir o lado direito da equação e igualar os coeficientes dos termos correspondentes de
. No entanto, para simplificar, vamos derivar ambos os lados em relação a
e então substituir
para encontrar
.
Depois de realizar essa operação, encontramos que
.
Passo 7
Continuando o processo, com os valores de
e
encontrados, podemos substituir esses valores na equação original e resolver para
e
. Após simplificar, descobrimos que:
Resposta
A transformada inversa de
é:
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