Vamos começar entendendo o que precisamos fazer. O exercício pede para encontrar a transformada inversa de . Isso está relacionado ao estudo das transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver esse problema, vamos precisar fatorar o denominador, decompor a fração em frações parciais e, por fim, aplicar as transformadas inversas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador . Podemos fatorar de ambos os termos:
Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, expandimos e simplificamos a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação:
Resolvendo o sistema:
De , temos .
De , substituindo :
De :
De :
De :
Passo 6
Substituindo os valores encontrados na decomposição original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente: