Ache a transformada inversa de:
(d)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que precisamos fazer. O exercício pede para encontrar a transformada inversa de . Isso está relacionado ao estudo das transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver esse problema, vamos precisar fatorar o denominador, decompor a fração em frações parciais e, por fim, aplicar as transformadas inversas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Podemos fatorar de ambos os termos:
Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, expandimos e simplificamos a equação:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação:
Resolvendo o sistema:
  • De , temos .
  • De , substituindo :
  • De :
  • De :
  • De :

Passo 6

Substituindo os valores encontrados na decomposição original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
No nosso caso, .

Passo 8

Aplicando as transformadas inversas:
Simplificando:

Resposta

A transformada inversa de é:

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(f)
Esboce o gráfico de e ache sua transformada de Laplace :
(d)