Ache a transformada inversa de:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace. A questão pede para encontrar a transformada inversa de
. Vamos usar os conceitos de transformadas de Laplace e suas inversas para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração:
. Para facilitar a identificação da transformada inversa, podemos completar o quadrado nesse polinômio. Isso nos ajuda a colocá-lo em uma forma que reconhecemos das tabelas de transformadas.
Passo 3
Completo o quadrado para
:
Agora, nosso denominador fica
.
Passo 4
Agora, reescrevemos a função
com o denominador completado:
Para simplificar, podemos fazer uma substituição: deixemos
, então
. Substituindo na expressão:
Passo 5
Essa fração pode ser decomposta em duas partes:
Agora, cada termo corresponde a uma transformada inversa conhecida.
Passo 6
Vamos lembrar algumas transformadas inversas básicas:
- A transformada inversa de
é . - A transformada inversa de
é .
No nosso caso,
.
Passo 7
Aplicando essas transformadas inversas:
Passo 8
Não esqueçamos que fizemos a substituição
, o que implica que devemos multiplicar a função resultante por
para ajustar a transformação.
Passo 9
Portanto, juntando tudo, temos:
Resposta
A transformada inversa de
é:
Exercícios relacionados
Ache a transformada inversa de:
(d)
(d)
Ache a transformada inversa de:
(e)
(e)
Esboce o gráfico de
e ache sua transformada de Laplace :
(d)
(d)
Esboce o gráfico de
e ache sua transformada de Laplace :
(b)
(b)