Ache a transformada inversa de:
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace. A questão pede para encontrar a transformada inversa de . Vamos usar os conceitos de transformadas de Laplace e suas inversas para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: . Para facilitar a identificação da transformada inversa, podemos completar o quadrado nesse polinômio. Isso nos ajuda a colocá-lo em uma forma que reconhecemos das tabelas de transformadas.

Passo 3

Completo o quadrado para :
Agora, nosso denominador fica .

Passo 4

Agora, reescrevemos a função com o denominador completado:
Para simplificar, podemos fazer uma substituição: deixemos , então . Substituindo na expressão:

Passo 5

Essa fração pode ser decomposta em duas partes:
Agora, cada termo corresponde a uma transformada inversa conhecida.

Passo 6

Vamos lembrar algumas transformadas inversas básicas:
  • A transformada inversa de é .
  • A transformada inversa de é .
No nosso caso, .

Passo 7

Aplicando essas transformadas inversas:

Passo 8

Não esqueçamos que fizemos a substituição , o que implica que devemos multiplicar a função resultante por para ajustar a transformação.

Passo 9

Portanto, juntando tudo, temos:

Resposta

A transformada inversa de é:

Exercícios relacionados

Ache a transformada inversa de:
(d)
Ache a transformada inversa de:
(e)
Esboce o gráfico de e ache sua transformada de Laplace :
(d)
Esboce o gráfico de e ache sua transformada de Laplace :
(b)