Esboce o gráfico de e ache sua transformada de Laplace :
(d)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício para desenhar o gráfico da função e encontrar a sua transformada de Laplace. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Vamos precisar entender como funciona a função degrau e como aplicar a fórmula da transformada de Laplace para funções multiplicadas por esse degrau.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Essa é a função degrau de Heaviside, que é definida como:
Então, significa que a função só “ativa” a partir de . Antes disso, ela é zero.

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico de . Para , . A partir de , a função começa a seguir . Então, no gráfico, teremos uma linha no eixo do tempo até , e a partir daí, uma parábola subindo.

Passo 4

Para encontrar a transformada de Laplace de , usamos a propriedade da transformação de funções multiplicadas por um degrau de Heaviside. A fórmula geral é:
Onde no nosso caso. Então, precisamos calcular .

Passo 5

Expandindo :
Agora, aplicamos a transformada de Laplace a cada termo separadamente:
Então:

Passo 6

Finalmente, aplicamos a propriedade do degrau:
Isso simplifica para:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Ache a transformada inversa de:
(f)
Ache a transformada inversa de:
(d)
Esboce o gráfico de e ache sua transformada de Laplace :
(b)
Seja . Mostre que . Use esse resultado para determinar que tenha a transformada de Laplace igual a:
(a)