Esboce o gráfico de
e ache sua transformada de Laplace :
(d)
(d)
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício para desenhar o gráfico da função
e encontrar a sua transformada de Laplace. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Vamos precisar entender como funciona a função degrau
e como aplicar a fórmula da transformada de Laplace para funções multiplicadas por esse degrau.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Essa é a função degrau de Heaviside, que é definida como:
Então,
significa que a função
só “ativa” a partir de
. Antes disso, ela é zero.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico de
. Para
,
. A partir de
, a função começa a seguir
. Então, no gráfico, teremos uma linha no eixo do tempo até
, e a partir daí, uma parábola subindo.
Passo 4
Para encontrar a transformada de Laplace de
, usamos a propriedade da transformação de funções multiplicadas por um degrau de Heaviside. A fórmula geral é:
Onde
no nosso caso. Então, precisamos calcular
.
Passo 5
Expandindo
:
Agora, aplicamos a transformada de Laplace a cada termo separadamente:
Então:
Passo 6
Finalmente, aplicamos a propriedade do degrau:
Isso simplifica para:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Ache a transformada inversa de:
(f)
(f)
Ache a transformada inversa de:
(d)
(d)
Esboce o gráfico de
e ache sua transformada de Laplace :
(b)
(b)
Seja
. Mostre que
. Use esse resultado para determinar
que tenha a transformada de Laplace igual a:
(a)
(a)