Esboce o gráfico de
e ache sua transformada de Laplace :
(b)
(b)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente precisa fazer aqui é desenhar o gráfico da função
e depois encontrar a transformada de Laplace dela. A matéria envolvida é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar entender como a função
se comporta ao longo do tempo para aplicar a transformada corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
está definida. A função é dada por:
e ela se repete a cada 2 unidades de tempo, ou seja,
. Isso significa que a função é periódica com período
.
Passo 3
Vamos esboçar o gráfico de
. No primeiro intervalo, de
a
, a função vale 1. De
a
, ela vale -1. E esse padrão se repete a cada 2 unidades de tempo.
Então, o gráfico será um quadrado que alterna entre 1 e -1 a cada intervalo de 1 unidade de tempo, repetindo-se a cada 2 unidades.
Passo 4
Agora que temos o gráfico, vamos encontrar a transformada de Laplace de
. A transformada de Laplace de uma função periódica
com período
é dada por:
No nosso caso,
, então precisamos encontrar a transformada de Laplace de
no intervalo de
a
.
Passo 5
Vamos dividir a função no intervalo de
a
:
A transformada de Laplace de uma função por partes pode ser calculada integrando cada parte separadamente.
Passo 6
Calculando a transformada de Laplace para cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 7
Somando as duas partes:
Passo 8
Agora, aplicando a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas:
Podemos simplificar isso para:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é:
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Esboce o gráfico de
e ache sua transformada de Laplace :
(d)
(d)
Ache a transformada inversa de:
(f)
(f)
Seja
. Mostre que
. Use esse resultado para determinar
que tenha a transformada de Laplace igual a:
(a)
(a)
Ache a transformada inversa de:
(1)
(1)