Esboce o gráfico de e ache sua transformada de Laplace :
(b)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente precisa fazer aqui é desenhar o gráfico da função e depois encontrar a transformada de Laplace dela. A matéria envolvida é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar entender como a função se comporta ao longo do tempo para aplicar a transformada corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida. A função é dada por:
e ela se repete a cada 2 unidades de tempo, ou seja, . Isso significa que a função é periódica com período .

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico de . No primeiro intervalo, de a , a função vale 1. De a , ela vale -1. E esse padrão se repete a cada 2 unidades de tempo.
Então, o gráfico será um quadrado que alterna entre 1 e -1 a cada intervalo de 1 unidade de tempo, repetindo-se a cada 2 unidades.

Passo 4

Agora que temos o gráfico, vamos encontrar a transformada de Laplace de . A transformada de Laplace de uma função periódica com período é dada por:
No nosso caso, , então precisamos encontrar a transformada de Laplace de no intervalo de a .

Passo 5

Vamos dividir a função no intervalo de a :
A transformada de Laplace de uma função por partes pode ser calculada integrando cada parte separadamente.

Passo 6

Calculando a transformada de Laplace para cada parte:
Para :
Para :

Passo 7

Somando as duas partes:

Passo 8

Agora, aplicando a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas:
Podemos simplificar isso para:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de e ache sua transformada de Laplace :
(d)
Ache a transformada inversa de:
(f)
Seja . Mostre que . Use esse resultado para determinar que tenha a transformada de Laplace igual a:
(a)
Ache a transformada inversa de:
(1)