Ache a transformada inversa de Laplace de cada função:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Para isso, vamos precisar usar a técnica de completar o quadrado no denominador e depois aplicar a tabela de transformadas inversas de Laplace para funções que se encaixam na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador . Isso significa reescrever de uma forma que envolva um quadrado perfeito.
Vamos fazer isso:
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, nossa função fica assim:
Isso é legal porque está na forma , que a gente já sabe como transformar de volta usando a transformada inversa de Laplace.

Passo 4

Vamos lembrar da fórmula da transformada inversa de Laplace para essa forma:
Essa fórmula ajuda a transformar de volta para o domínio do tempo.

Passo 5

Agora, vamos identificar os valores de e na nossa função:
  • (porque temos )
  • (porque )
Substituindo esses valores na fórmula:

Resposta

A transformada inversa de Laplace de é:

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Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície dada, no ponto indicado:
(d) .
Ache a transformada inversa de Laplace de cada função:
Seja e denote por o campo de vetores normais exteriores à esfera . Calcule a derivada direcional .
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