Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície dada, no ponto indicado:
(d) .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Multivariável, como derivadas parciais e equações de planos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o ponto realmente está na superfície dada. Substituindo e na equação da superfície:
Como coincide com o ponto dado, o ponto está mesmo na superfície.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente à superfície em , precisamos das derivadas parciais de em relação a e . A equação geral do plano tangente é:
Onde:
  • é a coordenada do ponto ,
  • e são as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de :
No ponto :

Passo 5

Substituindo os valores na equação do plano tangente:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é:

Passo 6

Agora, para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais e , e a componente :
A equação paramétrica da reta normal que passa por é:

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é:
E a reta normal à superfície nesse ponto é dada pelas equações paramétricas:

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