Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície dada, no ponto indicado:
(d) .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Multivariável, como derivadas parciais e equações de planos e retas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o ponto realmente está na superfície dada. Substituindo e na equação da superfície:
Como coincide com o ponto dado, o ponto está mesmo na superfície.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente à superfície em , precisamos das derivadas parciais de em relação a e . A equação geral do plano tangente é:
Onde:
é a coordenada do ponto ,
e são as derivadas parciais de em relação a e .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de :
No ponto :
Passo 5
Substituindo os valores na equação do plano tangente:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 6
Agora, para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais e , e a componente :
A equação paramétrica da reta normal que passa por é:
Resposta
O plano tangente à superfície no ponto é:
E a reta normal à superfície nesse ponto é dada pelas equações paramétricas: